三角関数の合成について

質問

ただいま浪人中のものですが、現役の頃三角関数の合成を
（x軸にsinθ、y軸cosθにとして）座標を使って解く方法を習ったのですが、合成後がsinθなる時はわかるのせすが、合成後がcosθになるときの、座標使っての三角関数の合成の仕方を教えて頂けないでしょうか？お願いします。m(__)m

回答No.2

sTOMream · ベストアンサー

三角関数の合成公式は，結局三角関数の加法定理を少しいじっただけなので，合成後がsinθであろうと，cosθであろうと，どちらでも出来ます．

簡単な例をあげましょうか．

sinθ+cosθを合成しましょう．

2^0.5でくくれば
sinθ+cosθ=2^0.5(1/2^0.5sinθ+1/2^0.5cosθ)
1/2^0.5は，sin(π/4),cos(π/4)であるので，
=2^0.5(cos(π/4)sinθ+sin(π/4)cosθ)
ここでsinの加法定理を使えば
=2^0.5(sin(θ+π/4))
となります．これが，合成後sinとなりますね．

また，結果をcosにするためには
sinθ+cosθ=2^0.5(1/2^0.5sinθ+1/2^0.5cosθ)
ここで先程と逆にして，
=2^0.5(sin(π/4)sinθ+cos(π/4)cosθ)
=2^0.5(cos(π/4)cosθ+sin(π/4)sinθ)
を見るとcosの加法定理が使えるため
=2^0.5(cos(θ-π/4))
となります．

理解できたでしょうか？
ただ，試験中などでこれをやるのは時間がかかりすぎることから，簡易的に，sin合成では，x軸にsinの値をとり，θに該当する値を加え，またcos合成では，x軸にcosをとり，θに該当する値を引くことで合成後の角度が得られるというわけです．

どちらがx軸か忘れてしまったら，もちろん定義に戻って計算します．

お礼

詳しい説明どうも有難うございました。これを参考に勉強を頑張りたいと思います。m(__)m

回答No.3

abehirosi

三角関数の合成の公式は、基本的には以下の〈1〉式で与えられます。
asinθ＋ｂcosθ＝√a^2+b^2sinθ（θ＋α）…〈1〉

この〈1〉式がどこからでてきたのかを簡単にご説明致しましょう。また、パソコンの都合上打ち込みが面倒なので、a=1,b=2として導いていきます。ポイントは、No2さんがおっっしゃっているように三角関数の加法定理の変形にすぎないということです。

sinθ＋2cosθ＝√5×1/√5×sinθ＋√5×2/√5cosθ
（補足1:√5というのはa=1とb=2という数字からピタゴラスの定理で出現。√5で割ってあるのは左辺と等しくするため、相殺した。）
　　　　　　＝√5×cosαsinθ＋√5sinαcosθ…〈2〉
（補足2:ただし、1/√5=cosα、2/√5=sinαと置く。）
　　　　　　＝√5sin(θ＋α）…〈答〉
（補足3:√5(sinθcosα＋cosθsinα)＝√5sin(θ＋α））

となります。ではどうすれば、cosθを最終的な合成関数の形にもっていけるか、ご説明致しましょう。〈2〉式をご覧下さい。先ほどは補足2で、1/√5=cosα、2/√5=sinαと置きましたが、1/√5=sinα、2/√5=cosαと置いて見ましょう。すると、以下のようになるでしょう。
　　　　　　＝√5cos(θ-α）…〈答〉
（補足4:√5(sinθsinα＋cosθcosα)＝√5cos(θ-α））

となります。補足3,4が理解しがたいと思いましたら、加法定理の公式のところをご参照下さい。

以上です。ひよひよ劇場でした。

お礼

詳しい説明どうも有難うございました。頑張ってもっと勉強しようと思います。m(__)m

回答No.1

debut

x軸にsinθ、y軸にcosθというのがよくわからないのですが、
sinθ=cos(θ-π/2)なので、sinθのやりかたで、最後に-π/2すればいいだけ
ではないですか？

お礼

詳しい説明有難うございました。sinθとcosθ関係の重要性がよくわかりました。これを参考に勉強して行こうと思いますm(__)m