三角関数の合成

質問

三角関数の合成

π/6≦θ≦5/6πのとき、sin{2θ-(π/6)}-cos2θ の最大値と最小値を求めよと言う問題があります。
この式が √3/2 sin2θ-3/2 cos2θ という式になるのはわかりました。でもここからどのようにして合成するのでしょうか？
三角関数の合成の式が√(a^2+b^2) sin(θ+α) なので√3 sin(2θ+α) になるのはわかるのですがどうやってαの部分を出すのかわかりません… 図を書いて求めようとしたのですがさっぱりで…

どなたか教えてください。よろしくお願いしますm(__)m

回答No.6

tmiyoshi · ベストアンサー

√3sin(2θ+α) = √3(sin2θcosα + cos2θsinα)

= √3/2sin2θ - 3/2cos2θ

から

cosα=1/2, sinα=-√3/2

となるから、α=-π/3 になります。

従って、

与式　= √3sin(2θ-π/3)

従って、この式は√3sinθの関数の周期を２倍(2θ)にして、θの＋方向にπ/3だけ並行移動したものになります。

従って、この図のπ/6≦θ≦5/6πでの最大値、最小値を探すことになります。

最小値は、　θ= 5/6π の時で、-3/2
最大値は、 θ= 5/12π の時で、√3

になります。

お礼

お礼遅くなり申し訳ありません。
そういうことだったんですね！
とてもすっきりしました！！
ありがとうございましたm(_ _)m

回答No.5

watecolor1969

すいません。
どうやら一人で突っ走ってしまったようなので
謝罪の意をこめて以下、変形の過程を記しておきます。

(√3/2) sin(2θ)-(3/2)cos(2θ)
=(√3)[(1/2)sin(2θ)-{(√3)/2}cos(2θ)]
=(√3){cos(π/3)・sin(2θ)-sin(π/3)・cos(2θ)}
=(√3){sin(2θ)・cos(π/3)-cos(2θ)・sin(π/3)}
=(√3)sin{2θ-(π/3)}

大変失礼しました。

お礼

とんでもないです！
ただ私が理解できなかっただけです…
とてもわかりやすかったです。
ありがとうございましたm(_ _)m

回答No.4

watecolor1969

じゃあ別の方向からのヒント：

最終的に
√3 sin(2θ+α)
の形にしたいんだよね。

sin(2θ+α)＝　※　…(2)
加法定理を適用すると※の部分はどんな式になる？

さっきの(1)式を√３でくくったカッコの中身と(2)式の※の部分を
よくにらめっこしてごらん。

お礼

ありがとうございましたm(_ _)m

回答No.3

watecolor1969

ごめん、ちょっと解りにくい書き方したかな。

ANo.2のヒントは
(1)式を√３でくくったあと、
各項の係数を加法定理が使えるように正弦、余弦を使って表すということ。

お礼

ありがとうございましたm(_ _)m

回答No.2

watecolor1969

ヒント：加法定理(各項の係数を変形)

お礼

ありがとうございましたm(_ _)m

回答No.1

watecolor1969

> √3/2 sin2θ-3/2 cos2θ　…(1)
> √3 sin(2θ+α)

これが同値なのだから
(1)式全体を√３でくくってみたらわかるんじゃない？

お礼

√3でくくったあとどのように考えるのでしょうか？
勉強不足ですいません…