整数値行列のベクトルによる行の置換

質問

以前からちびちび考えていたのですが
原理的に不可能なような気もして、
ひょっとすると人生を無為に過ごしているかもしれないので
質問させてください。

整数値M×N次元行列{a[m,n]}に対して
整数値N次元ベクトル{b[n]}を
　c[m,n] = a[m,n]+b[n] (mod q)
と作用させたときc[m,n]がa[m,n]の
行の値の置換となっている
すなわち、m=1,2,..,Mがある置換Pによって
P(1),P(2),...,P(M)と置きかえられるとき
　c[m,n] = a[P(m),n]
となっている、行列aとベクトルbの組、そしてq
を求めたいのですが
こんな組み合わせってあるのでしょうか？
※置換の数はM!通りあるわけなので
　それぞれに対応した変換を与える
　ベクトル{b[m]}の組{{b[m]}}が
　全部存在していて欲しいと思います。
※もちろん
　a[m,n] と a[m',n]はすべての(m,m')の組に対して
　等しくないとします。
多分、a[m,n] と a[m',n] の値を上手い具合に
不等間隔に並べればいいかと思うのですが...？

あるいは類似の問題（できれば、答えが導かれているもの）
を教えていただければと思います。

MやNに制限は設けませんが、
できればある程度の大きさがあったほうがいいです
（逆に、無限大というのもこまりますが）

以上、不明な点は補足させて頂きますので、
要求をお願い致します。
（回答はできるだけ簡単に
　あらすじだけでも結構ですのでよろしくお願いします。）

回答No.4

stomachman

> もともとの問題は x の関数 f_j(x) (j=0,1,2,...,N) があって、
>　exp[ i (f_j(x)+ g(x)) ] = exp[ i f_P(j)(x) ]　（ i は虚数単位）
>となるようなg(x)があったら、便利だろうな

仮にあったとして、f_j(x)として好き勝手な関数が使えず、また直交どころか線形従属である。そういう関数族f_jがどう便利なのか、ちょっと想像が付きかねます。また、

> a[m,n]+b_w[n] (mod q_w) (w=1,...,W)

つまり法qを毎回変えても良い、という風に問題を拡張していらっしゃいますが、「もともとの問題」に照らせばq = 2π/k (k∈正の自然数) 以外では意味を持たないのでは？
　失礼を省みず、アドバイスということで：もし実用目的が何かあるのでしたら、それをストレートに質問なさった方が良さそうですよ。

お礼

stomachmanさん、夜分遅くまでありがとうございます。

>　exp[ i (f_j(x)+ g(x)) ] = exp[ i f_P(j)(x) ]　（ i は虚数単位）
はそのままです。空間に位相分布しているような波面を取りかえるようなものを考えています。すぐにどうこうというわけではないのですが、止まらない信号（メモリ／バッファを用いずに）を処理するような場合に使えるかなという程度です（他にはアナログＣＤＭ回路のようなものにもつかえるかもしれません・・・あとづけです）。f_j(x)というような分布を作ること自体が大変ですし、式のような変換は実際は原理的に無理だと思っています。
　でも、他の似た形態では何かあるかもしれないので、そのヒントのようなものが得られればと考えて質問しました。以上の意味で、実用というよりは単なる興味＝関連知識が欲しと思っています（その意味で、完全な回答よりも、刺激的なアイデアを期待しているとも言えるかも知れません）。もちろん答えそのものがあれば、それを応用して上記のような系への適用を考えるかもしれませんが。
　ご気分を害されたのでしたら申し訳ありません。２次の合同式とか良く知らないもので、なんかその当たりで、こういう変な数を使えば上手くいくよとか、oodaikoさんのように、制限つきの入れ替えであればできるなどなにか示唆していただければと考えています。

　さて、
＞直交どころか線形従属である
というご指摘ですが、exp[ i f_j(x) ] (j=1,2,...）という関数の系は線形従属ではないので
それなりに意味があるのだと思います。また、 g(x)がある程度ランダムであれば、
exp[ i f_j(x) ] (j=1,2,...）は積分により内積を定義すればある程度直交性をもつようになると思います。（もちろんそんな系があればですが）

＞「もともとの問題」に照らせばq = 2π/k (k∈正の自然数) 以外では意味を持たないのでは？
ですが、上記の具体的な系を何段かに組んだようにしてもいいかなという程度です。
というか、最初に述べたように具体的な構成があるわけではないので．．．

stomachmanさんにお手を煩わせて大変申し訳ないと思っています。
本当に気軽な気持ちで訊いているだけなので、お叱りはごもっともだと思いますが許してください。