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ガウスシアンとローレンチアン
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ガウシアンは分布関数が (1) (1/2πσ)^(1/2) exp{-(x-x0)^2/2σ} ローレンチアンは分布関数が (2) (1/2π) γ/{(x-x0)^2 + γ^2} です. ガウシアンの方は非常に多く見られます. 例えば,気体分子の速度の分布(マックスウェル分布)など. motsuan さんの書かれているとおり,ローレンチアンは共鳴曲線でよく見られます. 強制振動の振幅などの振動数依存性が,共鳴周波数付近で減衰が小さいとき ローレンチアンになっています. よく,ローレンチアンが裾が長い,といわれます. x-x0 が大きくなったときの減衰の様子が,ガウシアンよあり遥かに弱いことは (1)(2)から明らかです. ガウシアンではすべてのモーメント (3) <(x-x0)^(2n)> n=1,2,3,... が収束しますが,ローレンチアンでは全部発散してしまいます. したがって,ローレンチアンでは分散も発散します.
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- motsuan
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私のイメージとしては ガウシアンは有限な分散をもつ確率分布を正規化したときの極限 (数学の自然法則!?中央極限定理)として 自然な分布として仮定される場合が多いと思います。 一方、ローレンツィアンは共鳴現象のスペクトルとして得られたり、 共鳴の緩和現象の相似性から導かれる分布というイメージがあります。 共鳴現象の場合はグリーン関数の エネルギースペクトルのポール(複素数値)として 完全な束縛状態ではない場合に、 緩和現象の場合はexp(-a*|t|)をフーリエ変換すると導かれます。 といったところです。(非常に雑なイメージでもうしわけありません。)
お礼
回答ありがとうございます。 なんとなくイメージできました。
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