- ベストアンサー
幾何の問題
- みんなの回答 (5)
- 専門家の回答
質問者が選んだベストアンサー
算数オリンピックで出てきそうな問題ですね。 補助線を引くのではなく、辺ADで折り返した図形を考えてみてください。 (2つの四角形が辺ADでつながっている形) 折り返した図形を四角形ADC’B’とし、CC’を結びます。 すると、正〇角形が 2つ現れます。(大きいものと小さいもの) この図が描ければ、難しい計算にはなりません。 108= 54×2や等しい長さの辺の位置に注意してみてください。
その他の回答 (4)
- watecolor1969
- ベストアンサー率41% (62/150)
正五角形の1つの内角が108°という事実 を知っていれば、ANo.1(ANo.4)さんのやり方 が最も理にかなっている気がしますが、 あえて、別の方法で記しておきます。 ラフに書いたので適当に修正してください。 まず、辺AD、BCをそれぞれ右に伸ばしていき 交わった点をEとします。 次に点Cを中心に半径CB(=CD)の円を描きます。 その上で点Cから線分AEと直角になるように線を引き、 線分AEとの交点をG、円との交点をFとします。 また、円と線分AEとの交点をHとし、 線分CH、FHを引きます。 この時、CD = CHより△CDHは二等辺三角形であり また△CDG≡△CHG …(1) さらに、線分ACと線分AFを追加します。 ここで、∠BEA = 180°- (108°+54°) = 18°(=∠CEG) また、△BACが二等辺三角形であることより ∠BAC = (180°- 108°) / 2 = 36° ∴∠DAC = 54°- 36°= 18°(=∠CAG) これから、△CAEは二等辺三角形であり CA = CE で△CAG≡△CEG。 今、∠FCE = 180°- ∠CEG - ∠EGC = 180°- 90°- 18°= 72° よって、∠BCF = 180°- ∠FCE = 180°- 72°= 108° なおかつ BA = CF より AF // CE 平行線の錯覚が等しいことより ∠CEG = ∠FAG = 18°△CAFは二等辺三角形で △CAG≡△FAG(≡△CEG) よって CG = FG から△CDG≡△FDG(≡CHG) 従って CD = FD = CF(円の半径) となり △CDFは正三角形であり∠DCF(∠DCG) = 60° 従って、X°= ∠BCD = ∠BCF - ∠DCF = 108°- 60°=48° また X°= ∠BCH = ∠BCD + ∠DCG + ∠HCG = 48°+ 60°+ 60°= 168° (∵(1)より) 答え:X = 48°または X = 168°
お礼
ありがとうございます。
- naniwacchi
- ベストアンサー率47% (942/1970)
#1です。 自分の中での整理も含めて。 #2さんの方法はわたしも解けませんでした。 三角関数を使うにしても、数値計算になってしまうかと。 #3さんの2つの答えは、正三角形を折り返すことで説明ができます。 もとの四角形がだいぶ違う印象になります。
- ORUKA1951
- ベストアンサー率45% (5062/11036)
「ひらめき」なんか使わずに、普通に計算して解く方法。 1) 三角形BCDは二等辺三角形なので、∠DBC = ∠BDC ^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^ 2) ∠ABD = 108°- ∠DBC 3) ∠DAB + ∠BDA + ∠ABD = 180°(三角形の内角の和) 以上から、計算できますよ。
お礼
ありがとうございます。 私も同じように計算しようとしましたが、できませんでした。 考えれば辺ABは他のニ辺に等しいという条件を全然使っていなくて 通りでできませんでした。 ORUKA1951さんは∠BDAをどういうふうに表示したのですか。 もう少し具体的に書いていただけませんでしょうか。
関連するQ&A
- 三角形の相似の問題です。
基本的な問題ですみません。 添付した図で、∠ACB=ADCです。このとき、△ABCと相似な三角形は、△(1)で、対応する辺の比は等しいから、AB:AC=BC:CD これから、CDの長さは、CD=(2)cm 解説つきでお願いします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 図形の問題です
初歩的な問題なのですがどうしてかうまくできません。おそらくは凡ミスだと思うのですが… ある円上に四点ABCDをとる。AB=2,BC=√5+1,AC=2√2,CD=1/2AD,∠ABC=60,BDは直径 このときCDの長さを求めよ 普通に△ADCに余弦を用いたらできますが、直角三角形を利用する解法でします。 △BCD,△BADは直角三角形であるから {BD}^2={CD}^2+{BC}^2 {BD}^2={AD}^2+{AB}^2 これより 4X^2+4=x^2+6+2√5 x^2=(2+2√5)/3 答えは2√14/7です 一体どこで間違えているのでしょうか?よろしくお願いします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 平面幾何
△ABCの辺AB,ACの中点をそれぞれD,Eとし、辺BE、CDの交点をGとする。 4点D,B,C,Eが同一円周上にあるとき、以下のことを証明せよ。 (1)AB=AC (2)2∠ABG=∠BAEのとき∠BAG=∠ABG (3)(2)の条件を満たすとき△ABCは正三角形である この問題を解いているのですが、 (1)でAB=ACを示すことはBD=CEを示すことで、△BCDと△CBEが合同であることを利用して証明してみました (2)からがわからなくて困っています。 △ABGが二等辺三角形であることを示すのでしょうか?もしそうだとした場合どのように示せばいいのでしょうか? 回答いただければ幸いです。よろしくお願いします
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 三角形の3辺の長さの性質の証明
定理1、2辺の長さの和は、他の一辺の長さより大きい 定理2、2辺の長さの差は、他の一辺の長さより小さい を証明する問題で、 1の証明 △ABCにおいて辺BAのAを越える延長上にAD=ACであるような点Dをとると、BD=AB+AC…(1) また△ACDは、∠Aを頂点とする二等辺三角形であるから ∠ACD=∠ADC △BCDにおいて、線分ACは∠BCDの内部にあるから ∠BCD > ∠ADC すなわち∠BCD > ∠ADC=∠BDC ゆえに、定理2より BD>BC・・・(2) (1)、2から AB+AC>BC 同様にしてBC+BA>CA,CA+CB>AB (終) 定理1の証明はできたんですが定理2の証明がどうしてもわからないのでどなたか教えてください。 定理1を使って証明したいです。お願いします
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 幾何の証明問題です。回答の程宜しくお願い致します。
次の証明問題についてなんですが... 直辺四面体の対辺の共通垂線は垂心を通ることを証明せよ。 できるだけわかりやすく証明方法を教えてくださいm(_ _)m ちなみに直辺四面体の定義は 四面体ABCDにおいて,AB⊥CD,BC⊥AD,AC⊥BDが成り立つこと です。
- ベストアンサー
- 数学・算数
お礼
早速のご回答、ありがとうございます! そうやって計算しますと、x=48°になりますね。 この方法は本当にすごいです。答えがすぐわかりますね。 でも、私にも思いつきそうもありません。(涙) 他には、普通の人でも思いつきそうな方法はありますかな?