- 締切済み
変数変換を利用して次の積分を計算しろという問題で
I=∫∫∫Ω z dxdydz , Ω = { (x,y,z)| x,y,z>=0 , x^2+y^2+z^2<=1 } 至急回答をお願いします。 できれば解説や計算過程を加えてもらえると幸いです。 よろしくお願いします。
- みんなの回答 (1)
- 専門家の回答
みんなの回答
- tmiyoshi
- ベストアンサー率60% (6/10)
関連するQ&A
- 次の三重積分を解いていただけると有難いです。
極座標変換することにより、以下の積分を計算せよ。ただし、Rとdは正の定数で,z0は0<z0<R又はR+d<z0であるような定数とする。 ∫∫∫ 1/√(x^2+y^2+(z0-z)^2) dxdydz D={R^2≦x^2+y^2+z^2≦(R+d)^2} rの範囲をどうとればいいのか分からないのと、θの積分計算で詰まってます。どなたか教えてください。
- 締切済み
- 数学・算数
- 三重積分の極座標変換の問題
∫∫∫z dxdydz (x^2+y^2+z^2≦1,z≧0) この問題の解きはじめに x=rsinθcosφ, y=rsinθsinφ, z=rcosθとおいて dxdydz=r^2sinθdrdθdφ 範囲は0<r≦1,0≦θ≦π/2,0<φ≦2πと置きましたが 範囲はこれでよろしいのでしょうか?
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 変数変換したときの積分範囲について
∫∫∫ log(x^2+y^2+z^2) dxdydz {(x,y,z) | x^2+y^2+z^2≦t^2} この積分の値を求める問題があります。 変数変換で、x=rsinθcosψ、y=rsinθsinψ、z=rcosθ として、解くと思うのですが、 この場合の、r、θ、ψの範囲がどうなるのかがよくわかりません。 参考書でほぼ同じような問題を見つけたら、その問題は 0≦r≦t 0≦θ≦π 0≦ψ≦2π という範囲で積分していたのですが、この問題の場合でもこの範囲で良いんでしょうか?おそらく半径tの円を考えると思うのですが 考え方がよくわかりません。 参考書にも詳しく書かれてなかったので質問させてもらいました。 よろしくお願いします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 広義積分 球面座標変換 数学
(1)~(3)の広義積分を解いてください、お願いします (1) I=∬∫D 1/(x^2+y^2+z^2)^2 dxdydz D:1≦x^2+y^2+z^2,x≧0,y≧0,z≧0 (1≦x^2+y^2+z^2≦a^2,x≧0,y≧0,z≧0として球面座標変換を行う) (2)I=∬D {log(x^2+y^2)}/(x^2+y^2)^(1/2) dxdy D:0≦x^2+y^2≦4,x≧0,y≧0 (3)I=∬D {e^-(x^2+y^2+z^2)}/(x^2+y^2+z^2)^(1/2) D:1≦x^2+y^2+z^2,x≧0,y≧0,z≧0 (4) I=∬[D] 1/(x^2+y^2+z^2)^(1/2)dxdydz D:{(x,y,z)|1≦x^2+y^2+z^2≦16,x≧0,y≧0,z≧0} 球面座標変換を用いること 球面座標変換 x=rcosφsinθ, y=rsinθsinθ, z=rcosθ を用いること D ⇒ E:{(r,θ,φ)| 0≦r≦4, 0≦φ≦π/2, 0≦θ≦π/2} E:{(r,θ,φ)| 1≦r≦4, 0≦φ≦π/2, 0≦θ≦π/2}なぜこうならないのかも教えてください
- 締切済み
- 数学・算数
- 積分の変数変換について
積分の変数変換に関する質問です。一番簡単な直交座標から極座標への変換を例にします。 x = x(r,θ) = rcosθ. y = y(r,θ) = rsinθ. であるとき f(x,y) = 1 を x^2 + y^2 ≦ R^2 という円内を積分領域して積分すれば ∫∫f(x,y)dxdy = ∫∫dxdy = ∫∫rdrdθ ・・・・・・ (#) となり円の面積が求められます。つまり直交座標から極座標に変換して積分するときは dxdy →drdθ ではなく、 dxdy →rdrdθ としなければならないと、どんな参考書にも書いてあります。つまり r を余分に付け加えるわけですが、これは ┌ ┐ ┌ ┐┌ ┐ |dx|=|cosθ -rsinθ||dr | |dy| |sinθ rcosθ||dθ| └ ┘ └ ┘└ ┘ |J| =|cosθ -rsinθ|= rcos^2θ- (-rsin^2θ) = r |sinθ rcosθ| のように行列式|J|でも求めることができ、|J|をヤコビアンと呼ぶということも参考書に載っています。 一方で rdrdθ= rdθ*dr は極座標における面積要素ですから(#)の変換は直感的にも納得できます。θは角度ですから drdθでは面積になれないわけです。(#)は具体的には ∫[0~2π]∫[0~R]rdrdθ で計算できます。この式だけじーっと見ていると、いつのまにか r とθが極座標の変数であることが忘れ(笑)、あたかもθを縦軸、r を横軸とする '直交座標' において関数 θ= r を積分していると見なせます。 で、ここからが質問なのですが・・・ 直交座標から任意の座標に変数変換して積分するということは、結局のところ、その任意の座標を直交座標と見なして計算することであると考えてよいのでしょうか? たとえば x = x(u,v,w) y = y(u,v,w) z = z(u,v,w) ┌ ┐ ┌ ┐┌ ┐ |dx| |∂x/∂u ∂x/∂v ∂x/∂w ||du| |dy|=|∂y/∂u ∂y/∂v ∂x/∂w||dv| |dz| |∂z/∂u ∂z/∂v ∂z/∂w||dw| └ ┘ └ ┘└ ┘ |∂x/∂u ∂x/∂v ∂x/∂w| |J| =|∂y/∂u ∂y/∂v ∂x/∂w| |∂z/∂u ∂z/∂v ∂z/∂w| であるとき dxdydz = |J|dudvdw という変数変換は、 u、v、w がどんな座標の変数であれ、最終的には u、v、w の '直交座標' で計算することであると考えてよいのかということです。 任意の座標同士の変数変換というのはどうなるのでしょうね。ちょっと想像しかねます。
- ベストアンサー
- 数学・算数