3重積分の計算問題

質問

下記の問題です。

(1)

∫∫∫x^2 dxdydz

積分範囲=｛(x,y,z); |x|+|y|+|z|<=1 ｝

(2)

∬ |x-y| dxdy

積分範囲=｛(x,y); |x|<=1,|y|<=1,|x-y|<=1 ｝

ご回答よろしくお願いします。

回答No.2

info22_ · ベストアンサー

(1)
D={(x,y,z); |x|+|y|+|z|<=1 ｝
Dの領域を図示すると原点対称の正八面体の内部領域となります。
x,y,zについて対称性から
I=∫∫∫[|x|+|y|+|z|<=1] x^2 dxdydz
=8∫∫∫[x+y+z<=1,x>=0,y>=0,z>=0] x^2 dxdydz
=8∫[y:0,1] dy ∫[z,0,1-y]dz∫[x:0,1-y-z] x^2 dx
=8∫[y:0,1] dy ∫[z,0,1-y] (1/3)(1-y-z)^3 dz
=(8/3)∫[y:0,1] dy ∫[z,0,1-y] -(z+y-1)^3 dz
=(8/3)∫[y:0,1] (1/4)(y-1)^4 dy
=(2/3)∫[y:0,1] (y-1)^4 dy
=(2/3)(1/5)*1
=2/15

(2)
D=｛(x,y); |x|<=1,|y|<=1,|x-y|<=1 ｝
積分領域Dを図示して考えて下さい。亀の甲形の六角形の内部領域ななります。
I=∬[D] |x-y| dxdy
積分領域Dおよび被積分関数|x-y|がy=xについて対称性を有するから
I=2∬[D'] (x-y) dxdy
D'={(x,y):|x|<=1,|y|<=1,0<=x-y<=1}
D'をx:[-1,0]の領域とx:[0,1]の領域に分割して積分すると
I=2{∫[-1,0] (x+1)dx +∫[0,1] dx}
= 1+2
= 3

お礼

とても丁寧にかつわかりやすくご回答いただき、ありがとうございます。
（1）は良くわかりました。
（2）はご指摘の計算方法と1さんの方法と両方やってみましたけれど結果は両方とも4/3と
なってしました...

回答No.1

alice_44

こゆのは、自分でやった計算(途中まででも可)
を書いて、質問しなきゃね。
丸投げが最も無意味なタイプの問題。

どちらも、積分領域を正しく表現できれば、
簡単な反復積分に翻訳できる。
(2) は、x-y=z で置換して、 x を消去
してもよいかな。

お礼

ご回答ありがとうございます。
こういう絶対値の入った重積分の問題は大苦手なんです。
どこから手を付けたらいいかぜんぜんわかりませんので...