- ベストアンサー
3重積分の問題
∫∫∫(xy+yz+zx)dxdydz A={(x,y,z); x>=0,y>=0,z>=0, x^2/a^2+y^2/b^2+z^2/c^2<=1(a,b,c>0)} 上記の問題です。 普通に極座標変換をやってみたものの、うまくいきませんでした。 何からの変形をやってから極座標変換をして解く必要があるかもしれません。 ご回答よろしくお願いいたします。
- griffithxzb
- お礼率81% (78/96)
- 数学・算数
- 回答数2
- ありがとう数1
- みんなの回答 (2)
- 専門家の回答
質問者が選んだベストアンサー
∫∫∫(xy+yz+zx)dxdydz (A:x^2/a^2 + y^2/b^2 + z^2/c^2≦1 , x,y,z≧0 ,a,b,c≧0) x = a・r・sinθcosφ y = b・r・sinθsinφ z = c・r・cosφ ・・・と座標変換してみる。 すると積分領域は 0≦r≦1 , 0≦θ≦π/2 , 0≦φ≦π/2 ・・・となる。 当方が計算してみたところ、計算間違えとかしてなければ・・・、 ∫∫∫(xy+yz+zx)dxdydz = ∫[0→1]∫[0→π/2]∫[0→π/2](abr^2sinφcosφsin^2θ + bcr^2sinφcosφsinθ + acr^2cos^2φsinθ)|∂(x,y,z)/∂(r,θ,φ)|drdθdφ = (abcπ/120)・(4ab + 3bc + 3ac)
その他の回答 (1)
- Ae610
- ベストアンサー率25% (385/1500)
ANo.1です。 スミマセン 座標変換をミスしました。 x = a・r・sinθcosφ y = b・r・sinθsinφ z = c・r・cosθ ・・・に訂正させて頂きます。 ∫∫∫[A](xy+yz+zx)dxdydz = ∫[0→1]∫[0→π/2]∫[0→π/2](abr^2sinφcosφsin^2θ + bcr^2sinφcosθsinθ + acr^2cosφsinθcosθ)|∂(x,y,z)/∂(r,θ,φ)| drdθdφ = ∫[0→1]∫[0→π/2]∫[0→π/2](abr^2sinφcosφsin^2θ + bcr^2sinφcosθsinθ + acr^2cosφsinθcosθ)abcr^2sinθdrdθdφ = (abc/30)・(2ab + bc + 2ca) 計算間違えしてなければ・・・(ちと自信ないが!)
関連するQ&A
- お願いします
x+y+z=a, xy+yz+zx=b , xyz=cとおくとき x^3 + y^3+ z^3をa,b,cを用いて表すことがわかりません。 因数分解など考えたのですがわからなくて 答はa^3 -3ab +3c ^2+y^2+z^2=(x+y+z)^2-2xy-2yz-2zx x^3+y^3+z^3=(x+y+z)(x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx)+3xyz からどのように代入するかよくわからなくて (x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx)がもうすこまとまれそうな感じがするのですが 例えば(x-y)^2・(y-z)^2・ (z-x)^2 のような感じで でもわかりません おねがいします
- ベストアンサー
- 数学・算数
- {2^(1/3)- 1}^(1/3)の2重根号
{2^(1/3) - 1} ^ (1/3) = a^(1/3) + b^(1/3) + c^(1/3) ただし、a、b、c∈Q このとき、a+b+cを求めよ? どうやって解けばよいでしょうか?複数解あるそうです。 (x+y+z)^3=x^3+y^3+z^3+3xy(x+y)+3yz(y+z)+3zx(z+x)+6xyz より、与式を3乗すると、 2^(1/3) - 1 = a + b + c + 3(ab)^(1/3) {a^(1/3) + b^(1/3)} + 3(bc)^(1/3) {b^(1/3) + c^(1/3)} + 3(ca)^(1/3) {c^(1/3) + a^(1/3)} + 6(abc)^(1/3) 3乗根の中身とそうでない部分が比較できるときと、比較できないときがあるとは思うのですが。
- 締切済み
- 数学・算数
- 球の最小二乗法について
はじめまして. 工学部の学生です. 球の中心座標と半径を求める最小二乗法について教えてください.お願いします. 私も,エクセルを使って式を立てて計算したのですが,中心がどうしてもずれてしまいます. |Σx^2 Σxy Σzx Σx | |a| |-Σ(x^2+y^2+z^2)x| |Σxy Σy^2 Σzy Σy | |b| = |-Σ(x^2+y^2+z^2)y| |Σzx Σyz Σz^2 Σz | |c| |-Σ(x^2+y^2+z^2)z| |Σx Σy Σz n | |d| |-Σ(x^2+y^2+z^2)| この式をクラーメルの公式を使って解いて x=-a/2 y=-b/2 z=-c/2 r=√{(a^2+b^2+c^2)/4-d} で,計算したのですが,答えがうまく求まりません. どなたか教えていただけないでしょうか.
- ベストアンサー
- 数学・算数
お礼
ご回答ありがとうございます!