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四角形の面積を求める問題
staratrasの回答
問題の四角形が添付した下の図のような形であるという前提で回答します。 計算が少し面倒なので誤りがあったらごめんなさい。 四角形の辺ABとCDを延長して交点をEとすると∠E=50°以下角度の「°」を省略する。 図のようにAB=CD=xcm、AE=ycm、DE=zcmとすると 三角形EBCについて正弦定理から sin50:sin60:sin70=5:(x+z):(x+y) したがって x+y=5sin70/sin50 …(1) x+z=5sin60/sin50 …(2) また三角形EADについて余弦定理から y^2+z^2-2yzcos50=9 …(3) (1)-(2)からy-z=5(sin70-sin60)/sin50 図よりy>z、すなわち y-z>0なので 2乗してy^2+z^2-2yz=25(sin70-sin60)^2/(sin50)^2 …(4) (3)-(4)から2(1-cos50)yz=9-25(sin70-sin60)^2/(sin50)^2 yz=〔9-25(sin70-sin60)^2/(sin50)^2)〕/2(1-cos50) …(5) (1)(2)(5)から 三角形EBC=1/2(x+y)(x+z)sin50=(1/2)(25sin60sin70/sin50) 三角形EAD=1/2(yz)sin50=(1/2)sin50〔9-25(sin70-sin60)^2/(sin50)^2)〕/2(1-cos50) ここで四角形ABCDの面積は三角形EBCの面積から三角形EADの面積を引いたものだから 四角形ABCD=(1/2)〔(25sin60sin70/sin50)-sin50[9-25(sin70-sin60)^2/(sin50)^2)]/2(1-cos50)〕 (sin60=√3/2 を代入すれば多少見かけは変わりますが、sin50,sin70などがあるのですっきりした形にはなりません） 数値計算をすると四角形の面積は8.5780…cm^2くらいです。 (x≒2.3813…,y≒3.7520…,z≒3.2712…)
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