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積分の問題です。
∫[0,∞]exp(-x^2cos2a)cos(x^2sin2a)dx ただし、0<a<π/4 の求め方を教えてください。
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#1の図です。
図の赤い部分の経路をγとして f(z)=e^((z^2)e^(-2ia)) とおくと、 fが正則だからコーシーの積分定理より 0=∫[γ]f(z)dz=I+J+K ここで I=∫[x=0～R]e^((-x^2)(e^(-2ia))dx J=∫[θ=0～a]e^(((Re^(iθ))^2)e^(-2ia))Rie^(iθ)dθ K=∫[r=R～0]e^(-(re^(ia)^2)e^(-2ia))e^(ia)dr I→∫f(x)dx J→0(R→∞) K→-((√π)/2)e^(ia) です。 Jの評価は少し工夫が入りますので考えてみてください。 ∫[0,∞]exp(-x^2cos2a)cos(x^2sin2a)dx =ReI に気づけば終了。 途中の計算と最後の結果を省略したのでご自分でやってみて、 わからなくなったらやってみたところまで補足に書いてください。 あなたはベテランだから結構できるはず。
補足
回答ありがとうございました。質問があります。 f(z)=e^((-z^2)e^(-2ia)) J=∫[θ=0～a]e^(-(Re^(iθ)^2)e^(-2ia))Rie^(iθ)dθ ではないのですか。
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