数列の問題とその性質
- 数列の問題について、与えられた数列の性質や関係を示す方法を学びましょう。
- 与えられた数列において、特定の不等式や不等式の関係を用いて性質を示す方法を解説します。
- 数列{a_n}が単調増加であることの証明方法を解説します。
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数列の問題
自然数nに対して、a_n=1+1/2+‥‥+1/n-log(n+1)とする。 このとき、次の問いに答えよ。 (1) 1/(n+1)<log(n+1)-long<1/nを示せ。 1/xのグラフより、[n,n+1]において、高さ1/(n+1)の長方形、高さ1/nの長方形、積分値を比べて、成り立つことを証明。 (2)a_n<1を示せ。 a_nにおいて,(1)より、1/2～1/nにおいて、1/(n+1)<log(n+1)-lognを用いて、 プラスとマイナスで0になった項を消していき、 a_n<1-{log(n+1)-logn} さらに、同じ不等式を使って、 <1-1/(n+1) <1 で示した。 これをふまえて、 (3)数列{a_n}は単調増加であることを示せ。 (3)について教えてください。
- oomukashi
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a[n] の定義式から、素直に階差を作ると、 a[n]- a[n-1] = 1/n - log(n+1) + log(n) です。 ここで、(2)の最後で log を消去したのと 同じことをすると、 a[n] - a[n-1] ≧ 1/n - 1/n = 0 となります。
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