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三角関数
0≦α＜2π，0≦β＜2πとする。 sinα+cosβ=√2，cosα+sinβ=-√2のとき (1)sin(α+β) (2)α，β の値を求めよ。 ヒントとして (1)与えられた2式の辺々を2乗して加える。 まったくわかりません。 教えてください(´；ω；`)
- 花菜（@anak3303）
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(1)与えられた2式の辺々を2乗して加える。 ヒント通りの作業を行いましょう。 (sinα+cosβ)^2+(cosα+sinβ)^2 =sin^2α+2sinαcosβ+cos^2β+cos^2α+2cosαsinβ+sin^2β sin^2α+cos^2α=1,sin^2β+cos^2β=1より =2+2sinαcosβ+2cosαsinβ sinα+cosβ=√2，cosα+sinβ=-√2であるから 2+2sinαcosβ+2cosαsinβ=4 sinαcosβ+cosαsinβ=1 加法定理より sin(α+β)=1 (2) sin(α+β)=1,0≦α＜2π，0≦β＜2πよりα+β=π/2または5π/2 ここから三角比の相互関係を用いて正弦・余弦いずれかだけの式にしてα・βの値を求めればいいのではないでしょうか。
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- birth11
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(1)辺々を2乗する。 a=b. → a^2=b^2 a+b=c+d → (a+b)^2=(c+d)^2 2式の辺々を加える a=b c=d → a+c=b+d a+b=c+d a-b=c-d → (a+b)+(a-b)=(c+d)+(c-d)
- spring135
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（1） sinα+cosβ=√2 (1) cosα+sinβ=-√2 (2) 2式の辺々を2乗して加えるto 2sinαcosβ+2cosαsinβ+2=4 sinαcosβ+cosαsinβ=1 加法定理より sinαcosβ+cosαsinβ＝sin(α+β) ゆえに sin(α+β)＝1 （2） 0≦α＜2π，0≦β＜2πより 0≦α+β＜4π この範囲で sin(α+β)＝1 になるのは α+β＝π/2 または α+β＝π/2+2π a)α+β＝π/2のとき cosβ=sinα であるので(1)に代入して sinα=√2/2 α=π/4または3π/4 a-1) α=π/4のとき β=π/4 これは(2)を満たさない。 a-2) α=3π/4のとき β=-π/4 これは 0≦β＜2π から外れる。 b)α+β＝π/2+2πのとき cosβ=sinα であるので(1)に代入して sinα=√2/2 α=π/4または3π/4 b-1) α=π/4のとき β=π/4+2π これは(2)を満たさない。 b-2) α=3π/4のとき β=2π-π/4 これは (2)を満たし、 0≦α＜2π，0≦β＜2π にはいる。 答え α=3π/4、β=7π/4
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