数学3 はさみうちの原理を利用するに

質問

お世話になっております。

問題によるのですが、極限を求めるにあたって、はさみうちの原理を利用するときの不等式の立て方にペン(頭が)が止まってしまいます。

特に漸化式が絡む問題です

例 a[1]＞-2 ,a[n+1]=√(an+2)
ですが、この問題は誘導形式で、予め
(1)|a[n+1]-2|≦(1/2)|a[n]-2] を証明してから、 lim[n→∞]a[n] を求める形になってます。

無理関数y=√(x-2) とy=x の交点から極限値を求める方法で一応 極限値=2 は得られたのですが、これをはさみうちの原理を利用して解くとなると、ちょっとお手上げです。
a[n]≦b[n]≦c[n] の特にc[n] の式はどのように目星をつければ良いでしょうか？

アドバイスいただけると有り難いです。宜しくお願い致します。

回答No.2

naniwacchi · ベストアンサー

#1です。

＞距離≧0 および n→∞のとき(1/2^n)|a[1]-2|→0 だから
＞はさみうちより |a[n]-2|→0
＞みたいな流れになりますか？(1/2^n)は(1/2)^n と同値だから、おっしゃった収束条件-1＜r＜1 は満たすのかなぁと。
＞{a[n]-2} はa[n] そのものではないですが、階差とみてもa[n]→∞ならば同じことでしょうか。

実際の回答では「距離≧ 0」と書くより単純に「| a[n]- 2 |≧ 0」と書く方がいいですね。
で、ほとんどこの内容で合ってます。＾＾
もうちょっと補足しておくと、この不等式は
| a[n]- 2 |≦ 1/2* | a[n-1]- 2 |≦ (1/2)^2* | a[n-2]- 2 |≦・・・ ≦ (1/2)^(n-1)* | a[1]- 2 |

と変形できるので、
0≦ | a[n]- 2 |≦ (1/2)^(n-1)* | a[1]- 2 |

という不等式が得られます。
この式ではさみうちの原理を考えてみればどうですか？

最後に特性方程式のくだりですが、得られる解によっては収束値とならない場合があります。
いまの例でも、α＝ -1は収束値とはなりえませんね。
そういう意味では、質問で書かれたようにグラフで考えるのがいいと思います。

お礼

御回答ありがとうございます。
いただいた回答の不等式の右辺は、一目瞭然といった感じですね。明らかに0に収束するから、はさみうちが使える！
そうやってきれい(スマートに？)に不等式立てられれば、大分楽なのでしょうね(羨ましい)。
因みに漸化式に根号があるケースは当方には初めて見ました。特性方程式を立ててαを求めるのも二乗して二次方程式にしなければ求められませんでしたが、無縁解には注意しないといけないという事ですね。

しかし、極限は難しいですね。忘れないように気をつけます

回答No.1

naniwacchi

こんばんわ。

誘導形式になっている |a[n+1]-2|の形を導き出すところがポイントですね。
もうちょっと突っ込むと「2」をどうやって導き出すかというところです。

これは、すでに書かれているように、
＞無理関数y=√(x-2) とy=x の交点から極限値を求める方法で一応 極限値=2 は得られたのですが、

これも言い換えれば、特性方程式：α＝ √(α- 2)の解として与えられるものとなります。
そして、この特性方程式は
　lim a[n]→ αならば、lim a[n+1]→ αである

ことから、もとの漸化式に代入しているととらえることができます。

おおざっぱに流れを書くと、
1)漸化式から特性方程式を作り、その解を求める。
作り方は、a[n]＝ α、a[n+1]＝ αとおく。

2)極限値がαになるのであれば、数直線上での距離：|a[n]- α|は 0に近づくはず。
ということで、|a[n]- α|に関する式を導き出す。
漸化式を利用することで、|a[n]- α|≦ r* |a[n-1]- α|のような形が得られる。
そして、rは -1＜ r＜ 1を満たすような数となる。

3)絶対値は 0以上になるので、右辺を繰り返し用いて変形した r^(n-1)* |a[1]- α|→ 0で
はさみうちをしてしまう。

たいていの入試問題では誘導式にされるのがパターンだと思います。

参考URL：

http://okwave.jp/qa/q6246697.html

お礼

取り敢えずやってみました。ご説明が高度過ぎて漸化式を中ら機械的に解いていた当方はちょっと足下がふらついている感があるのですが……。
御回答の(3)の部分です。
例題の(1)の不等式の成立から、{a[n]}の添え数に注目すると
添え数が次第に下がるほど値は大きくなる、ということですよね。これがn→∞のとき、数直線上の距離|a[n]-α|は0に近付く、という(2)のご説明になるのでしょうか。(添え数が小さいほどa[n]とαの差は大きい？)

で、(3)についてですが、添え数に気をつければ、おっしゃるのは
例の(1)より
|a[n]-2|≦(1/2)|a[n-1]-2|≦……添え数は次第に下がって……≦(1/2^n)|a[1]-2|

距離≧0 および n→∞のとき(1/2^n)|a[1]-2|→0 だから
はさみうちより |a[n]-2|→0
みたいな流れになりますか？(1/2^n)は(1/2)^n と同値だから、おっしゃった収束条件-1＜r＜1 は満たすのかなぁと。
{a[n]-2} はa[n] そのものではないですが、階差とみてもa[n]→∞ならば同じことでしょうか。

……少し混乱してしまったかもしれません。
御回答ありがとうございました。

補足

naniwacchi先生、待っておりました、というのは他力本願になってしまいますが、待っておりました。
一つ誤記がありましたのでそれだけ補足します。
無理関数は y=√(x+2) でした。申し訳ありません。(交点のx座標は2のままです)

いただいた解答を今しばらく考えたいと思います。