はさみうちの原理の問題で・・・。

質問

いつもお世話になっています。
今日はさみうちの原理について学校で勉強したのですが、下記の二つの問題の解き方がさっぱり分かりません・・・。

（いずれもn→∞です）

(1)lim a^n/n!
(3)a1≧a2≧・・・ak>0としたとき、lim n√(a1^n+a2^n+・・・ak^n)
（↑のn√()はn重根です）

漠然とした質問で申し訳ないですが、ご教授頂けたら幸いですm(_ _;)m

回答No.4

Ae610 · ベストアンサー

とりあえず
(1)lim[n→∞] a^n/n!・・・のみ

|a|<m<nとなるmをとることができる。・・・(1)
|a|^n/n!=|a|・|a|/2・|a|/3・・|a|/(m-1)・|a|/m・|a|/(m+1)・・|a|/n (・はかけ算の意味)

(1)より|a|/m>|a|/(m+1)>・・・>|a|/nであるから
|a|^n/n!＜|a|^(m-1)/(m-1)!・(|a|/m)^(n-m+1)・・・(2)
よって(2)により

lim[n→∞] a^n/n!≦|a|^(m-1)/(m-1) !・lim[n→∞] (|a|/m)^(n-m+1)=|a|^(m-1)/(m-1) !・0 =0 (∵|a|/m＜1)

回答No.3

R_Earl

ANo.2です。
(3)の0 < n√(a1^n+a2^n+・・・ak^n) ≦ n√(a1^n+a1^n+・・・a1^n)は間違いです。
一番左は0ではありません。

はさみうちの不等号の式の右側がn√(a1^n+a2^n+・・・ak^n)の最大値だったので、
左側にはn√(a1^n+a2^n+・・・ak^n)の最小値(?)を使ってみてください。

回答No.2

R_Earl

> (1)lim a^n/n!

0 < aの場合、まず0 ≦ (a^n) / (n!)

2a = Nと置くと、N < nの時、

(a^n) / (n!)
= { (a^N) / (N!) }{ a / (N + 1)}{ a / (N + 2)}…{ a / (N + n - N)}
≦ { (a^N) / (N!) }{ a / N }{ a / N }…{ a / N }
= { (a^N) / (N!) }{ a / N }^(n - N)

よって0 ≦ (a^n) / (n!) ≦ { (a^N) / (N!) }{ a / N }^(n - N)

> (3)a1≧a2≧・・・ak>0としたとき、lim n√(a1^n+a2^n+・・・ak^n)

まず、0 < lim n√(a1^n+a2^n+・・・ak^n)

n√(a1^n+a2^n+・・・ak^n)が最大になるのはa1 = a2 = … = akの時。
よって、

0 < n√(a1^n+a2^n+・・・ak^n) ≦ n√(a1^n+a1^n+・・・a1^n)

回答No.1

koko_u_

>漠然とした質問で申し訳ないですが、ご教授頂けたら幸いです

はさみうちの原理で解けばいいんだよ。