物体の運動

質問

一定の速さ4.9m/sで鉛直上向きに上昇している気球がある。
地上からの高さが98mのところで、こ
の気球から小物体を静かに落下させた。
この物体が到達する最高点の高さはいくらか。
また、地表に小物体が達するまでに要する時間とそのときの速度を求めよ。

という問題です…
教えてください。

回答No.1

Quarks · ベストアンサー

>一定の速さ4.9m/sで鉛直上向きに上昇している気球がある。
あなたが気球に乗っているとします。
気球に乗っている小物体は、あなたから見てどんな運動をしていますか？
気球そのものは、あなたから見てどんな運動をしていますか？
(周囲の景色が見えない状態だったとしたら)どちらも、「動いているようには見えない」ですよね。
これは何を意味しているでしょうか？
気球は、本当は地面に対して上昇しているのに、動いてるように見えないのは、見ているあなたが気球と同じ速度で(地面に対して)動いているからに他なりません。もし、小球に目と頭脳が有ったとしたら、小球にも、気球が動いていないように見えているはずです。小球も、気球と同じ速度で動いているからです。
「相対速度」を学習したでしょう。お互いに同じ速度(同じ速さで、同じ向き)で動いているモノ同士は、相対速度が０です。相対速度が０だということは、相手が動いていないように見えるということと同じ意味です。

前置きが長くなりました。手放される瞬間の小球は、気球と同じ高さ(地上９８[m])に有って、気球と同じ速度(上向きに、４.９[m/s]の速さ)で、運動していたのです。
気球を無視して、地上から小球だけに着目してみると、
　地上から９８[m]の高さから、初速度４.９[m/s]で、鉛直上向きに投げ出された小球
の運動を観察していることになっていることがわかるはずです。
つまり、「鉛直投げ上げ運動」を考えなさい、という問題だったのです。
鉛直投げ上げ運動の公式は
　ｖ＝ｖ0－ｇ・ｔ
　ｙ＝ｖ0・ｔ－(1/2)ｇ・ｔ^2
です。
初速度ｖ0が４.９[m/s]にあたります。ただし、公式のｙは変位ですが、出発点からの高さであることに注意しましょう。地面からの高さＨを知りたいなら、出発点の高さ９８[m]の分だけ補正しなければなりませんから
　Ｈ＝ｙ＋９８[m]
です。

ここから、解答です。
（ア）最高点の高さ
　最高点＝(地面から見て)物体の速度が０になった瞬間の、高さ
です。その時間ｔは
　速度が０
になったときなので、公式
　ｖ＝ｖ0－ｇ・ｔ
で
　ｖ＝０
と代入して、ｔを求めれば良いでしょう。
　０＝４.９－９.８・ｔ
∴ｔ＝…[s]
このときの変位ｙは
　ｙ＝４.９・０.５－(1/2)・９.８・(０.５)^2
　＝…[m]
地面からの高さＨは
　Ｈ＝９８＋ｙ＝…[m]
（イ）地面に達した
地面は、出発点から見ると、"下に"、"９８[m]"の地点です。つまり、変位ｙが
　ｙ＝－９８[m]
というのが、地面に達したときの条件です。公式
　ｙ＝ｖ0・ｔ－(1/2)ｇ・ｔ^2
に代入して、そのときの時間ｔを求めます。
　－９８＝４.９・ｔ－(1/2)・９.８・ｔ^2
ｔに関する2次方程式になっていますが、どの項も４.９を約数として含みますから適当に約分して整理すると
　ｔ^2－ｔ－２０＝０
これを解くと
　ｔ＝－４，…
となりますが、ｔが負ということはありえないので、
　ｔ＝…[s]
です。　　　
そして、公式　
　ｖ＝ｖ0－ｇ・ｔ
に求まったｔを代入して、ｖを求めれば、それが地面に達したときの小球の速度を与えてくれます。
注意事項として、「速度」ですから、速さと向きを持っています。
　速さは、絶対値ですから、符号を無視した数値
　向きは、ｖの符号で判断します。公式では、上向きを正としていますから、求まったｖが負の数だったということは…
∴地面に達した瞬間、小球は
　下向きに、…[m/s]の速さであった
となります。