解析接続の関数について
- 複素数 z を変数とし、無限級数によって定義される関数 f(z)=1/(1-z) は解析接続されることがわかっています。
- しかし、関数 g(z)=1/(1-z) で定義された関数g(z) が、複素平面の定義域上で正則な関数、h(z)=2/3 に解析接続できない理由がわかりません。
- 一致の定理などに関する理由や状況について教えていただける方がいらっしゃれば、教えていただけないでしょうか？
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解析接続について
複素数 z を変数とし、無限級数によって定義される関数 f(z)=1/(1-z) (定義域|z|<1) を考えると、この関数は、Wikipedia( http://ja.wikipedia.org/wiki/%E8%A7%A3%E6%9E%90%E6%8E%A5%E7%B6%9A ) に記されている様に解析接続されることはわかります。 しかしながら、関数 g(z)=1/(1-z) (定義域|z|≦1/2) で定義された関数g(z) が、複素平面の定義域上で正則な関数、h(z)=2/3 (定義域z≦-1/2) に解析接続できない理由がよくわかりません。(一致の定理が成り立つ理由・状況などに関することなど) もしおわかりの方がおられれば、お教え頂けないでしょうか？
- graphman2
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(1) 解析接続は、直接解析接続の繰り返しであること (2) 直接解析接続の根拠は、一致の定理であること を確認した上で、↓を読んでみよう。 http://ja.wikipedia.org/wiki/%E4%B8%80%E8%87%B4%E3%81%AE%E5%AE%9A%E7%90%86 |z|≦1/2 で定義された g(z) が z≦-1/2 で定義された h(z) に解析接続できない理由は… (3) |z|≦1/2 ∪ z≦-1/2 が単連結開領域でないため、一致の定理の対象外であること (4) 一致の定理が要求する条件は、集積点を持つ点列上での一致だが、 g(z) と h(z) は一点 z=-1/2 で一致するに過ぎないこと
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お礼
大変丁寧に記述していただき、有り難うございました。 理解するのに多大な時間を要し、お礼が大変遅くなってしまったことを申し訳なく思います。 お陰様できちんと理解することが出来ました。有り難うございました。