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e^x-(x^0/0!+…+x^n/n!)＞0
f[n](x)=e^x-(x^0/0!+x^1/1!+…+x^n/n!)＞0を示せ n=0のとき成立 n=kのとき成立すると仮定すると n=k+1のときf[k+1](x)=f[k](x)-x^(k+1)/(k+1)!となってこれが正を示すときに別の質問で(f[k+1](x))'を使って増減表を書くと聞いたのですが(f[k+1](x))'=e^x-(x^0/0!+x^1/1!+…+x^k/k!)が0になる場所はわかるのでしょうか？
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- alice_44
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←A No.2 補足 平均値定理により、 f[k+1](x) - f[k+1](0) = f[k+1]'(c) (x-0) となる c が、0 ＜ c ＜ x の範囲に在ります。 f[k+1]'(x) = f[k](x) と f[k+1](0) = 0 を上式に会わせると、 f[k+1](x) = f[k](c) x, 0 ＜ c ＜ x です。 この式から、 f[k](x) ＞ 0 ならば f[k+1](x) ＞ 0 が出ます。
お礼
分かりました ありがとうございました
- alice_44
- ベストアンサー率44% (2109/4759)
x > 0 の範囲で成立 …ですよね？ 0 になるのは、x = 0 のときです。 f[n](0) を計算してご覧なさい。 以前の質問に回答したとおり、 f[n](x) = e^x - (1 + x^1/1! + … + x^n/n!) と置けば、 f[k+1]'(x) = f[k](x) です。 n = k のとき成立すると仮定すると、x > 0 では f[k](x) > 0 なので、 f[k+1](x) > f[k+1](0) です。 ここで f[k+1](0) = 0 であることが効いて、f[k+1](x) > 0。 n = k+1 でも成立することが示せました。
補足
またx正を書き忘れました、すみません f[k](x) > 0 なのでf[k+1](x) > f[k+1](0)となる理由と結局f[k+1]'(x) = f[k](x)を何に使ったのか良ければ教えてください
- kabaokaba
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数学的帰納法の使い方は理解していますか？
補足
まず何か最初の数字で成立することを示して、kが成り立つと仮定しk+1で成り立つことを示すんですよね？
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