代数：aとbの互いに素な意味とそれに関連するRx+Ry=Rの成り立ち
- aとbが互いに素であるとは、とある元aを素元分解すると、a=xyzと分解できたとき、xとyは互いに素であることを意味します。
- そして、xとyが互いに素であるならば、RxとRyで生成される２つのイデアルは互いに素であり、Rx+Ry=Rが成り立ちます。
- つまり、互いに素な元で生成されるイデアルは、互いに素なイデアルを生成することができるということです。
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【代数】aとbが互いに素であるとは？
単項イデアル整域Rにおいて、とある元aを素元分解すると、 a=xyzと分解できた。 このときxとyは互いに素であるから、これらで生成される２つのイデアルRxとRyは互いに素である。 つまり、Rx+Ry=Rが成り立っている。 という文章についてなんですが、xとyが互いに素である というのはどういうことなんでしょうか。 文脈から判断するに、互いに異なる（単元倍をのぞく）素元であるという意味だと思うのですか、 違いますか。 また、なぜxとyが互いに素であるならばRx+Ry=Rが成り立つ （つまり、それらで生成される単項イデアルは互いに素である） のでしょうか。 ヒントでもいいので、誰かご教示お願いします。
- computerdejav
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何かイロイロ混乱しているようだけれど、 R の異なる素元 x,y は互いに素であることを示せ という質問ですよね？ 文脈上出てきた素元分解 xyz は、質問の事項には 直接関係していません。 R が PID であることを利用してもいいけれど、 素元分解環であることすら仮定する必要はなくて、 一般の整域 R において、直接に証明が可能です。 (素元分解でない環にも、素元は存在します。) 方針としては、素元は必ず既約元であること[1]を示し、 異なる既約元は互いに素であること[2]を示せばよいです。 素元の定義： 環 R の元 x が素元である ⇔ R の元 b,c に対し、x が bc を割り切るならば、 x は b または c を割り切る。 かつ、x は R の単元および零元ではない。 既約元の定義： 環 R の元 x が既約元である ⇔ R の元 b,c が x = bc を満たすならば、 b または c は R の単元である。 かつ、x は R の単元および零元ではない。 互いに素の定義： 環 R の元 x,y が互いに素 ⇔ x,y の公約数は R の単元である。 [1] x が R の素元だとします。 x = bc であれば、x は bc を割り切ることになるので、 素元であることから、x は b または c を割り切ります。 b を割り切る場合を考えましょう。 b = xu となる u が存在することになるので、これを x = bc へ代入すると、x(1 - uc) = 0 と変形できます。 R が整域であることから x = 0 または uc = 1 ですが、 素元は 0 ではないので、uc = 1。よって、c は単元です。 x が c を割り切る場合には、同様にして、b が単元です。 以上、x は R の既約元であることが示されました。 これは、R が整域であれば、常に成り立ちます。 [2] x,y が R の異なる既約元だとします。 既約元の定義により、x を割り切る数は、 単元または x 自身です。y についても同様です。 x,y がそれぞれ既約元であり、かつ x ≠ y であれば、 x,y の公約数は単元しかありません。 よって、x,y は互いに素と判ります。
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- sunflower-san
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「x,yが互いに素」の意味は、普通の整数の場合と同じです。 「xとyが(単数以外の)共通の約数を持たない」ということ。(単数は可逆元なのであらゆる数を割り切ります。整数環における±1のような数ですので、(単数以外の)という断りが必要です) たとえば、14と15はいずれも素数ではありませんが、互いに素です。 そしてn, m が整数全体をわたるとき、14n+15mはあらゆる整数の値をとります。つまり、14Z +15Z = Z (ここで、Zは整数全体のなす環のことを表すものとします) 一方、21と15は公約数3を持つので互いに素ではありません。 そのためn, m が整数全体をわたるとき、21n+15mはあらゆる3の倍数の値をとりますが、3の倍数以外の値をとることはありません。 つまり、21Z +15Z = 3Z 単項イデアル整域とは、あらゆるイデアルが単項である、つまりただ一つの元で生成される、ということでした。(整数の全体のなす環 Zは単項イデアル整域の基本的な例になっています) よってRが単項イデアル整域のときは、 Rx +Ry という二項で生成されているイデアルも、実はある元zがあって Rx +Ry =Rzというふうに一つの元で生成されてしまうわけです。いま x, y∈Rx +Ry =Rz であることからx=r z, y=r' z と書けます。つまりzはx, yの公約数なので、もしx, yが互いに素ならばzは単数でなければいけません。単数zについてはRz =R が成立するので、Rx +Ry =Rとなるわけです。
お礼
わかりやすい具体例をありがとうございます。
- kabaokaba
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まさにNo.2さんのいうとおりで 「互いに素」だからにつきる RがPIDで，Rx+Ryがイデアルなんだから Rx=Ry=Raとできる ここで，aが単元でなければ，aは素元分解できるわけで xとyが互いに素であることに反するということでしょう． ＃もちろん ＃aがゼロでないのはいうまでもなく・・・
お礼
なるほど・・・。 ありがとうございます。
- B-juggler
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別段、イデアルだからどうのこうのいう問題でもなく、 「互いに素」は互いに素ですよ？ 共通の約数を持たない（１以外の）ってことだよ・・・。 難しく考えすぎだと思うんだけど。 ＞互いに異なる（単元倍をのぞく）素元であるという意味だと思うのですか、・・・ うんと、これでいいよ。 厳密に言うとちょっと違うのかもしれないけれどね。 素元かどうかは不明だけど、共通の素元は持たないってこと。 (=^. .^=) ｍ（＿ ＿）ｍ (=^. .^=)
- kabaokaba
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Rxはイデアル Ryもイデアル Rx+Ryもイデアル Rは単項イデアル整域だから，ある要素aがあって Rx+Ry=Ra したがって RxとRyはRaの部分集合 ということは，xとyはRaの要素，つまりx=ka，y=laと表せる xとyは互いに素なんだから これはaが単元であることを意味する つまりRa=R
お礼
ありがとうございます。
補足
無知でごめんなさい。 xとyは互いに素なんだから これはaが単元であることを意味する を詳しく教えてください。
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