x[n+1]=√(3xn-2)

質問

http://okwave.jp/qa/q8057678.htmlのANo.3について質問です
3/(4 - y[n+1]) < 3/(4 - y[n]) < ・・・< 3/(4 - y[2]) = 3/(2+x[2]) = 3/(2+√(3 a -2))
という点までは出来たのですが、ここから
0 < y[n+1] < 3 y[n]/(2+√(3 a-2))
となる理由が分かりません
上記の式で示されたのは
3/(4 - y[n+1]) < 3/(2+√(3 a -2))
で、3/(4 - y[n+1])を変形してこれがy[n+1]より上が示されないかなど色々試したのですがいずれも上手くいきません
どうして0 < y[n+1] < 3 y[n]/(2+√(3 a-2))となるのでしょうか
教えてください！

回答No.2

naniwacchi · ベストアンサー

#1です。
焦っているからか、少し冷静になってみれば。＾＾

先の質問の #3さんの回答より、以下抜粋です。
＞3 y[n] = y[n+1](4 - y[n+1])
＞と変形すると、y[n+1]/y[n] = 3/(4 - y[n+1])　...式(2)
＞が得られます。

お礼

すみません、見落としていました
ありがとうございました

回答No.1

naniwacchi

3/(4 - y[n+1]) < 3/(4 - y[n]) < ・・・< 3/(4 - y[2]) = 3/(2+x[2]) = 3/(2+√(3 a -2))

の一番左の項は、y[n+1]と y[n]で書き換えられるのでは？
それを用いれば、すぐに示せますよね。

y[n]を出してもいいですが、
2- x[n+1]
＝ 2- √(3* x[n]- 2)
＝ { 2^2- √(3* x[n]- 2)^2 }/{ 2+ √(3* x[n]- 2) }　（分子の有理化）
＝ 3/{ 2+ √(3* x[n]- 2) }* { 2- x[n] }

で、2- x[n]の前にかかっている項が 1よりも小さいことを示す方法もあります。
（そのとき、1＜ x[n]＜ 2を用います）
先の質問で#2さんが指摘されているのは、この点だと思います。

このような見方をしておけば、2-　x[n]の「0.何倍」が繰り返しかけられて、
どんどん小さくなっていく（単調減少する）イメージがつかみやすくなると思います。

補足

3/(4 - y[n+1])をどうやってy[n+1]と y[n]で書き換えるのですか？
y[n+1]と y[n]を両方使うということは、
m(y[n+1])^n+Ａ=o(y[n])^p+Ｂみたいな形を
m(y[n+1])^n+o(y[n])^p=Ｃ
みたいな形にしてＣに入れて使うということですよね
しかし、y[n+1]と y[n]の関係式は数列{x[n]}の漸化式のみで、その漸化式をy[n]等の形に書き直して整理すると
(y[n+1])^2-4y[n+1]+3y[n]=0となり、とても3/(4 - y[n+1])に代入できる形ではなく、0 < y[n+1] < 3 y[n]/(2+√(3 a-2))という不等式を示せるものとは思えません
どうすればよいのでしょうか？

2- x[n+1]
＝ 2- √(3* x[n]- 2)
＝ { 2^2- √(3* x[n]- 2)^2 }/{ 2+ √(3* x[n]- 2) }　（分子の有理化）
＝ 3/{ 2+ √(3* x[n]- 2) }* { 2- x[n] }
で、2- x[n]の前にかかっている項が 1よりも小さいことを示す方法は、単調減少は示せますが0 < y[n+1] < 3 y[n]/(2+√(3 a-2))は示せるのでしょうか？