x[n+1]=√(3xn-2)

質問

http://okwave.jp/qa/q8057678.htmlのANo.3について質問です
0 < y[n+1] < 3 y[n]/(2+√(3 a-2))を示すところまでは出来たのですが、まず
不等式右辺の定数を b = 3 /(2+√(3 a-2)) = 3/(4 - y[2]) とおくと
0 < y[n+1]/y[n] = b
となるのが分かりません
0 < y[n+1] < by[n]を示したのだから、
0 < y[n+1]/y[n] < bになりませんか？

回答No.2

naniwacchi · ベストアンサー

#1です。

これももとの質問（の回答）からの抜粋ですが、
＞ y[n+1]/y[n] = 3/(4 - y[n+1])　...式(2)

この式をもとに大きさを比較していきます。
ところで、この式において n＝ 1とすると
y[2]/y[1]＝ 3/(4- y[2])＝ 3/(2+ x[2])＝ 3/{ 2+ √(3a-2) }

となり、【n＝ 1のときだけ】y[n+1]/y[2]＝ bが成立することになります。
（先の回答で n＝ 2と書いたのは、y[2]のときという意味だったのですが、
そこが曖昧になってました。失礼しました。）

そして、【n≧ 2においては】 y[n+1]/y[n]＜ bであることが示されます。
それは以下の不等式からです。
3/(4 - y[n+1]) < 3/(4 - y[n]) < ・・・< 3/(4 - y[2]) = 3/(2+x[2]) = 3/(2+√(3 a -2))

というよりも、ここでも最後の 3/(4- y[2])以降は等号になっているのですが・・・

結果、これらをまとめて書くと、y[n+1]/y[n]≦ bになるということです。

もとの問題で、
「0＜2-x[n+1]≦3(2-xn)/(2+√(3a-2))が成り立つことを示し」

の等号は n＝ 1のときしか成立していない。ということです。

＞それにn=2でy[n+1]/y[n]=bが成り立つことと
＞0 < y[n]/y[n-1] × y[n-1]/y[n-2] ×・・× y[2]/y[1] < b^(n-1)に何の関係があるのですか？

最終的に「はさみうちの原理」に持ち込むわけですから、
非常に大きい nについてどんどん小さくなっていく（0に近づく）ことが示されればよいわけです。
はさみうちすること自体には、n＝ 1での等号成立はあまり意味がありません。

このような問題での等号成立は案外見落としがちなところではあります。
たいていは「はじまり」にその等号が成立していることが多いです。

どうやら、以下の不等式を「1つの式」とみてしまっている印象を受けました。
3/(4 - y[n+1]) < 3/(4 - y[n]) < ・・・< 3/(4 - y[2]) = 3/(2+x[2]) = 3/(2+√(3 a -2))

結果は 1つの式ですが、過程をきちんと押さえておく必要があります。
つまり、(n+1のとき)＜ (nのとき)＜ (n-1のとき)・・・と計算していって、
最後（末尾）がどうなるかは自分できちんと考えてみてください。
もしかすると、3/(4- y[1])が最後かもしれませんし。

これは、A[n+1]/A[n]＝ n/(n+1)の漸化式を解くときと同じイメージです。

お礼

ありがとうございました
何とか理解してみます

回答No.1

naniwacchi

＞0 < y[n+1]/y[n] = b
＞となるのが分かりません

というよりも、y[n+1]/y[n]≦ bとなること
もとの問題でいえば、2-x[n+1]≦3(2-xn)/(2+√(3a-2))となることに対して、
「なぜ等号が含まれているのか？」ということだと思うのですが違いますか？

で、その答えですが「n＝ 2のとき」は等号になります。

補足

0 < y[n+1] < 3 y[n]/(2+√(3 a-2))が示されてるのに等号が成り立つのは何故ですか？
それにn=2でy[n+1]/y[n]=bが成り立つことと0 < y[n]/y[n-1] × y[n-1]/y[n-2] ×・・× y[2]/y[1] < b^(n-1)に何の関係があるのですか？