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↑vを基底で表すと ↑v = Σ【i=1→3】v_i ↑e_i 座標が回転されてv_iが v_i -> v'_i = Σ【j=1→3】R_ijv_j と変化したとする。この回転に伴い基底が ↑e_i -> ↑e'_i と変化したとする。 座標が回転したのであって ベクトルそのものは不変であるから、 ↑vそのものは変わらない。そこで、 ↑v = Σ【i=1→3】v'_i ↑e'_i = Σ【i=1→3】Σ【j=1→3】R_ijv_j ↑e'_i = Σ【j=1→3】Σ【i=1→3】v_j R_ij ↑e'_i = Σ【j=1→3】Σ【i=1→3】v_j R_ij ↑e'_i iをj, jをiと書き直して = Σ【i=1→3】v_j (Σ【j=1→3】 R_ji ↑e'_j) これが最初に書いた式に一致しなければならないから Σ【j=1→3】 R_ji ↑e'_j = ↑e_i 両辺に右から(R^-1)_ikを掛けてiで和をとれば、 Σ【i=1→3】 R_ji (R^-1)_ik = delta_{jk} （ただしdeltaはクロネッカーのでるた、）だから、 ↑e'_k = Σ【i=1→3】↑e_i (R^-1)_ik が得られる。
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