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y'=f(x)、x=x0のときy=y0
y'=f(x)、x=x0のときy=y0 というとき、yはy=y0+∫[x0からx] f(t)dtになるらしいのですがこれは何故ですか？単純なことかもしれませんが回答お願いします
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y'=f(x) ∫[xo,x1]y'dx=∫[xo,x1]f(x)dx y(x1) - y(xo) = ∫[xo,x1]f(x)dx y1 - yo = ∫[xo,x1]f(x)dx
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- alice_44
- ベストアンサー率44% (2109/4759)
見た目上の細かい式変形は、ともかく、 微積分学の基本定理を証明しないと、 質問の「何故？」に答えたことにはならない。 ここの回答欄では、分量的に無理。 成書を読もうよ。解析学の教科書には出ている。
お礼
分かりました
- alice_44
- ベストアンサー率44% (2109/4759)
文字の置き方が違うと、解りませんか？ y = F(x) と置くと、質問の式は ∫[x0からxまで] F'(t) dt = F(x) - F(x0) と書けるんですが。
お礼
なるほど分かりました ありがとうございました
- alice_44
- ベストアンサー率44% (2109/4759)
ああ、それには「微積分学の基本定理」って名前がついています。 解析の入門書には、たいてい書いてあるけど、 証明は、積分の定義によるかな？ 参考↓ http://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%BE%AE%E5%88%86%E7%A9%8D%E5%88%86%E5%AD%A6%E3%81%AE%E5%9F%BA%E6%9C%AC%E5%AE%9A%E7%90%86
補足
Wikipediaを読んだのですが d∫[aからx]f(t)dt/dx=f(x) や ∫[aからb]f'(x)dx=f(b)-f(a) と質問ってあまり関係がないように思えるのですが…
- spring135
- ベストアンサー率44% (1487/3332)
基本過ぎて目に見えない式というのが時々あります。 y=∫[x0からx]dy (1) がそれです。 この式に y'=dy/dx=f(x) より dy=f(x)dx として(1)に代入してやればいいわけです。 後は積分の上限xと積分変数を区別するため 積分変数をtにしています。 積分定数を0とした場合、積分の下限と対応させるため y=y0+∫[x0からx] f(t)dt としています。
補足
頭悪くて申し訳ないのですが y=∫[x0からx]dyにdy=f(x)dxを代入して変数を変えたらy=∫[x0からx]f(t)dxになりますよね 積分定数を0とした場合、積分の下限と対応させるためとあるのですが定積分に積分定数はないのではないのですか？
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