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x=x(t),y=y(t)の時のd^3y/dx^3は[x'^4y"'-x'^3x"'y'-3x'^3y"+3x'^2x"^2y']/x'^7?
x=x(t),y=y(t)の時のd^3y/dx^3を求めています。 x':=dx/dt,y':=dy/dtと置くと d^3y/dx^3=d/dx(d^2y/dx^2) =(1/x')d/dt((x'y"-x"y')/x'^3) (∵d^2y/dx^2=(x'y"-x"y')/x'3) =(1/x')([{d/dt(x'y"-x"y')}x'^3-(x'y"-x"y')d/dt(x'^3)]/x'^6) =(1/x')([{d/dt(x'y")-d/dt(x"y')}x'^3-(x'y"-x"y')・3x"x'^2]/x'^6) =(1/x')([{(x"y"+x'y"')-(x"'y'+x"y")}x'^3-3x'^3y"+3x'^2x"^2y']/x'^6) =[{(x"y"+x'y"')-(x"'y'+x"y")}x'^3-3x'^3y"+3x'^2x"^2y']/x'^7 =[x'^3x"y"+x'^4y"'-x'^3x"'y'-x'^3x"y"-3x'^3y"+3x'^2x"^2y']/x'^7 =[x'^4y"'-x'^3x"'y'-3x'^3y"+3x'^2x"^2y']/x'^7 となったのですがこれで正しいでしょうか?
- Yoshiko123
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こちら、腕力不足ですが.... 。 >d^2y/dx^2=(x'y"-x"y')/(x')^3 これは OK。 d^3y/dx^3 = d/dt{(x'y"-x"y')/(x')^3}/x' = {(x'y"-x"y')'*(x')^3-(x'y"-x"y')*3(x')^2*x"}/(x')^7 (x'y"-x"y')' = x"y"+x'y"'-x"'y'-x"y" = x'y"'-x"'y' だから、 d^3y/dx^3 = (x'y"'-x"'y')*(x')^3-(x'y"-x"y')*3(x')^2*x"}/(x')^7 = {(x')^4 *y"'-(x')^3 *x"'y'- // 3*(x')^3 *y"*x" // +3(x')^2*(x")^2 *y'}/(x')^7 となりました。貴稿を引用。 >[x'^4y"'-x'^3x"'y'- // 3x'^3y" // +3x'^2x"^2y']/x'^7 //....// の個所だけ異なります。 これはタイプミスですね。
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補足
有難うございます。 計算しなおしてみます。