d(dx)

質問

yがxの関数でy=f(x)と書けるとき、dy=f'(x)dxで、これはdx=X-x,dy=Y-yとしたときに点(x,f(x))での接線上の点を(X,Y)としたときの接線の方程式を表すとのことでした。

このあと2階微分の説明のところでdx=⊿xはxに無関係にとれるのでd(⊿x)=0だからd(dx)=0とありました。dx=X-xなのでd(dx)=0-1=-1と考えてはいけないのはなぜですか？

回答No.6

fjfsgh

＞「dx=X-x,dy=Y-yといった幾何的な意味はないのですよ。」なにをいっているのかわかりませんが、dx=X-x,dy=Y-yとそこ（高木の本）に書いてありますよ。

高木の36ページ16行目以降を見てください。

上文で接線という言葉を用いて、・・・、それは接線を定義したにすぎない。よって今一度Δy/Δxから出直してみよう。

つまり、そこからはdx=X-x,dy=Y-yの意味はないのですよ。

＞「dy=y'_x・dxの両辺の微分を取れば」がわからないというのが質問の骨子です。

高木によると、dy=y'_x・dxはxとdxに関する関数なので、その微分をとろうとすると、
2変数関数の微分の概念(全微分)が必要です。
しかし、全微分の概念はあとのページ（55ページ)にかいてあります。

そういったことを含め、高木の本も完ぺきではなく、古いのです。

お礼

デタラメを書き込んでおいて訂正もせずに放置するのはよくないですよ。

補足

「そこからはdx=X-x,dy=Y-yの意味はないのですよ。」これはなぜですか？

「2変数関数の微分の概念(全微分)が必要です。
しかし、全微分の概念はあとのページ（55ページ)にかいてあります。」を使うのですか？51ページの理由が55ページにあるというのはロジックがおかしくありませんか？

それと、全微分を使ってどう示すのでしょうか？

回答No.5

fjfsgh

あやふやさが嫌なら全部の考えを微分形式でやればいいと思います。

質問文に、
>yがxの関数でy=f(x)と書けるとき、dy=f'(x)dxで、これはdx=X-x,dy=Y-yとしたときに点(x,f(x))での接線上の点を(X,Y)としたときの接線の方程式

とありますが、関数という解析的な言葉はまだいいとして、接線という幾何的な言葉を持ち出した時点であいまい。幾何的な言葉はすべてイメージなので、厳密に定義を考えようとしたら、代数的にやらなければならない。

>⊿xは実数です。⊿はxに作用しているわけではなくて⊿xで１つの記号です。分離できませんしxとは関係ありません。
>ある正の実数aが存在して|⊿x|<aを満たすような実数をひとつ固定して⊿xと置いています。

このことは高木の本のどこに書いてありますか？

高木の35ページには、
独立変数の2つの値x、x_1に対応する関数y=f(x)の値をy、y_1として、
x_1-x=Δx、y_1-y=Δy
と略記するとあります。
つまり、Δxは(実数の範囲を動く)変数ですよね。

|⊿x|<aを満たすような実数をひとつ固定して⊿xと置いています、ということは変数でなく定数ですか？

高木の36,37ページには、Δyの主要部なるf'(x)・Δxをdyと表すとあります。
この意味においては、dx=Δxとあります。
つまり、dy=f'(x)・dx
すると(xを変数とする関数)yの微分dyとは、xとdxを変数とする関数のことですよね。

次に、高木の51ページには、
dy=y'_x・dx
の両辺の微分を取れば、
(d^2)y=y''_x(dx)^2 ＋ y'_x・(d^2)x
xが独立変数ならばdx=Δxはxに関係なく自由にとれるのだから(d^2)=d(Δx)=0として、
(d^2)y=y''_x(dx)^2
とあります。

これは幾何的な言葉を使わずに、解析的な言葉で書かれています。
その文脈では、dx=X-x,dy=Y-yといった幾何的な意味はないのですよ。

もし、5行上の「独立変数」「関係」「自由に取れる」といった解析的な言葉もあいまいだと思うなら、微分形式(文字通り、式の意味は考えずに、形式的にとらえ、関係式でのみ変形させることができる)でやればいいと思います。

お礼

わざわざ該当本をひっぱりだしていただいたみたいでありがとうございます。

あなたが引用したその箇所がわからなくて数週間ずっと悩んでいます。

補足

微分形式ってなんですか？

「接線という幾何的な言葉」そういうのを揚げ足取りといいます。

「ということは変数でなく定数ですか？」意味不明。

「dy=y'_x・dx
の両辺の微分を取れば」がわからないというのが質問の骨子です。

「dx=X-x,dy=Y-yといった幾何的な意味はないのですよ。」なにをいっているのかわかりませんが、dx=X-x,dy=Y-yとそこ（高木の本）に書いてありますよ。

もういちどみてみてください。

回答No.4

fjfsgh

こんにちは。

⊿xは厳密な意味での数学記号でないと思います。
≒、≪などのように。

⊿xは微小変化、dxはその極限といったようにいう人もいますが、すべてイメージです。

dx=⊿x　という式に違和感ありませんか？それとも十分に納得していますか？

高木の本はいい本とは思いますが、極端にいうと、ユークリッド原論やブルバギの本のように古い(現在ではおすすめでない)と思います。

補足

⊿xは実数です。⊿はxに作用しているわけではなくて⊿xで１つの記号です。分離できませんしxとは関係ありません。

ある正の実数aが存在して|⊿x|<aを満たすような実数をひとつ固定して⊿xと置いています。

dx＝X-xというのがdxの定義であってdx=⊿xとおいているだけです。

⊿xを微小変化などという文学的な表現にするとわけがわからなくなる入口です。これは単なる実数です。

先入観なしにワタシの質問文の第一段落をお読みになれば特にあやふやなところがないと気づくでしょう。

回答者さんは解析概論を読まれたことが実際にあるのでしょうか？ブルバキと一緒にしているところからして、どちらも実際に読まれたことはないのだろうと思いますが、いかがですか？古いとか新しいとかいうのと正しさとは何の関係もありません。

もし本当に読まれたことがあるのなら、どこが間違っているのか明快に説明できるはずではないでしょうか。

回答No.3

rabbit_cat

あのねえ。。

とりあえず、質問文に書かれたような接線（接空間）を中心にして、微分をきちんと定義して議論する数学の分野を「微分幾何学（解析幾何学）」と言います。

質問文に書かれている説明は、微分幾何での微分の考え方を（数学的な厳密性を全く考えないで）イメージで説明したものです。
もし、イメージ的な説明では納得できない、ならば、きちんとした「微分幾何学」の教科書を読まれることを強くお薦めします。

補足

あのねえ。。

高木の解析概論に載ってる内容についての質問なんですよ。
数学の質問にイメージ（失笑）で答えられてもねえ。。

回答No.2

rabbit_cat

質問文の内容は、⊿xはいいとしても、そもそも、むき出しのdxという記号はどういう意味なのか、という定義が全くされてないイメージの話での議論なわけで、深く考え出すと、何言ってるのかよくわからない、ってのはある意味当然です。

質問文の説明は、「まあ、なんとなくそんなもんかな」という以上の理解は、最初から絶対に無理です。深く考えるだけ時間の無駄。

それでは満足できない、本当の意味で理解したいなら、微分幾何の教科書を読まれると良いと思います。

補足

いいえ、dxの定義ははっきりしてます。質問文に書いた通りです。

「空気を読む」とか「なんとなく」などとわけのわからない感想だけで説明があやふやなのはあなたです。「深く考える」とは何ですか？哲学ですか？

説明できないならノイズのような書き込みをしないでほしいです。

回答No.1

rabbit_cat

まず、その説明は、「だいたいそんな感じになるでしょ。空気読んで理解してね」というものなので、あんまり深く考えても仕方ないんですが。。

＞このあと2階微分の説明のところでdx=⊿xはxに無関係にとれるのでd(⊿x)=0だからd(dx)=0とありました。
＞dx=X-xなのでd(dx)=0-1=-1と考えてはいけないのはなぜですか？

確かに場合によってはそう考えるほうが正しい場合もあると思います。

ただ、２階微分を考える場合には、「dx=⊿xはxに無関係にとれる」んで、d(⊿x)=0 です。

もうちょっと言えば、２階微分というのは、つまり、xの微小変化に対する、dy/dxの微小変化の比の極限、lim_(⊿x→0) [⊿(dy/dx)/⊿x] なわけです。
ここで、dy/dx = lim_⊿x→0(⊿y/⊿x) です。

つまり、２階微分といういうのは、dy/dxの段階で一旦先に極限を取ってしまって、その後でさらに、その極限値自体のの微小変化を考えているわけです。
つまり、最初の極限（１階微分の段階）での微小変化⊿xと、後の極限（２階微分の段階）での微小変化⊿x、は全く無関係ということです。

補足

dy=f'(x)dxの段階でdxは微小ではありません。
dx=⊿xも微小ではありません。⊿xは小さくなくてもいいです。

dy/dx=f'(x)を微分してdに乗y/dx二乗=f''(x)になることについて質問してるわけではないです。

「後の極限（２階微分の段階）での微小変化⊿x」というのはどこにも登場してませんがどういう意味でしょうか？