統計学です。

質問

統計学の問題で質問があります。(1)は分かったのですが、(2)が分からなくて困っています。どうか、解答、解説をよろしくお願いします。問題は、以下です。

(2)0<=s<t<=1に対し,確率変数X1=#{Xi<=s},X2=#{s<Xi<=t}を考えるとき,(X1,X2)はどのような分布に従うか。またFn(s)とFn(t)の共分散を求めよ。(Fn(t)=1/n#{Xi<=t})

回答No.2

noname#227064 · ベストアンサー

回答:No.1補足
> X1,・・・,Xnは一様分布U(0,1)に従うn個の無作為標本とする。
> それらの値がt以下の標本の個数を#{Xi<=t}と表す。

二つ目の疑問についての補足がありませんが、別のものと考えて回答します。
誤解しないように、
Y1 = #{Xi <= s}
Y2 = #{s < Xi <= t}
と表記します。

さて、Y1またはY2のどちらか一方ならばどのような分布に従うかは容易にわかることでしょう。
Y1は試行回数n、成功確率sの二項分布、Y2は試行回数n、成功確率t-sの二項分布に従いますので、期待値と分散はそれぞれ、
E[Y1] = ns, V[Y1] = E[(Y1 - E[Y1])^2] = ns(1-s)
E[Y2] = n(t-s), V[Y2] = E[(Y2 - E[Y2])^2] = n(t-s)(1-t+s)
となります。
では、Y1とY2の同時分布はどうなるかといいますと、三項分布に従います。
Y1 = y1, Y2 = y2となる確率は、X1からXnのうちy1個がs以下、y2個がsより大きくt以下、その他がtより大きくなる確率を求めれば良い。
例えば、X1からX(y1)がs以下、X(y1+1)からX(y1+y2)がsより大きくt以下、その他がtより大きくなる確率は
s^(y1) (t-s)^(y2) (1-t)^(n-y1-y2)
となります。
同様に、X1からXnのうちy1個がs以下、y2個がsより大きくt以下、その他がtより大きくなる組み合わせは全部でn!/(y1! y2! (n-y1-y2)!)通りあるので、求めたい確率関数は
(n!/(y1! y2! (n-y1-y2)!)) s^(y1) (t-s)^(y2) (1-t)^(n-y1-y2)
であることがわかります。

ここで、E[Y1 Y2]を計算してみると

E[Y1 Y2] = Σ_{y1 = 0}^n Σ_{y2 = 0}^{n-y1} y1 y2 (n!/(y1! y2! (n-y1-y2)!)) s^(y1) (t-s)^(y2) (1-t)^(n-y1-y2)
= Σ_{y1 = 1}^n Σ_{y2 = 1}^{n-y1} y1 y2 (n!/(y1! y2! (n-y1-y2)!)) s^(y1) (t-s)^(y2) (1-t)^(n-y1-y2)
= n(n-1)s(t-s)Σ_{z1 = 0}^{n-1} Σ_{z2 = 0}^{n-z1-2} ((n-2)!/(z1! z2! (n-z1-z2-2)!)) s^(z1) (t-s)^(z2) (1-t)^(n-z1-z2-2)
= n(n-1)s(t-s)

となることがわかります。

Fn(s)とFn(t)の共分散は、Y1/nと(Y1+Y2)/nの共分散を求めれば良いので、
Cov[Fn(s), Fn(t)] = Cov[Y1/n, (Y1+Y2)/n] = (1/n^2)Cov[Y1, Y1+Y2]
= (1/n^2)E[(Y1-E[Y1])(Y1+Y2-E[Y1+Y2])]
= (1/n^2){E[Y1(Y1+Y2)] - E[Y1]E[Y1+Y2]}
= (1/n^2){E[Y1^2] + E[Y1Y2] - E[Y1]E[Y1+Y2]}
= (1/n^2){ns(1-s) + (ns)^2 + n(n-1)s(t-s) - ns(ns+n(t-s))}
= (1/n)s(1-t)
となります。

お礼

ありがとうございました。

回答No.1

noname#227064

#{・}をどういう意味で使用されてますか？
#{・}の中のXiは左辺のX1とX2とは違うものでしょうか？
Xiは確率変数であると思いますが、如何なる分布に従っているのでしょうか？

補足

問題文で補足します。X1,・・・,Xnは一様分布U(0,1)に従うn個の無作為標本とする。それらの値がt以下の標本の個数を#{Xi<=t}と表す。また、標本比率Fn(t)=1/n#{Xi<=t}をtの関数と見て,経験分布関数という。