確率統計の問題と中心極限定理について
- 質問文章では、確率密度関数f(X)=1(0<=X<=1) 0(その他)で与えられており、新しい確率変数Zを定義して、Z〜N(0,1)と近似できることを中心極限定理によって説明したいとのことです。
- 質問者のやり方として、まずf(X)の平均と分散を求め、次にZを変形して表現した後、nが大きいときにZ〜N(0,1)と近似できるという性質を中心極限定理で説明しました。
- しかし、問題文ではn=12であるため、質問者は何を「大きい」と捉えればいいのか分からない状況です。質問者は確率統計の初心者であり、何かしらの基準があるのか知りたいと述べています。
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確率統計の問題
確率密度関数f(X)= 1(0<=X<=1) 0(その他) で与えられている。 Z=Σ(i=1,12)Xi-6 として新しい確率変数Zを定義するとき、Z～N(0,1)と近似できることを中心極限定理によって説明せよ。 という問題です。 私のやり方としては、まずf(X)の平均と分散を求める。 μ=1/2 σ^2=1/12 と求まります。 ここで、Zを変形すると、 Z=(1/√12)*(Σ(i=1,12)(Xi-1/2)/(√1/12)) となり、ここの12をnと置き換えればn→∞のときに Z～N(0,1)と近似できるとわかりますが、 中心極限定理ではn が大きいときに、 Z=(1/√n)*(Σ(i=1,n)(Xi-μ)/(σ)) の分布は標準正規分布でよく近似できるとありますが、 問題文ではn=12であって、これが何を持って大きいといえるのです。 確率統計の初心者ですので、馬鹿な質問になり、申し訳ありません。 わかる方がいらっしゃいましたら、ご教授お願いします！
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> nと置き換える12はZ=(1/√12)*(Σ(i=1,12)(Xi-1/2)/(√1/12))の中の > 3つ全部だと思います。合っていますかな... いえ、二つだけです。 Z=(1/√n)*(Σ(i=1,n)(Xi-1/2)/(√1/12)) が正しい。 > E(Z)=0,V(Z)=1なので、ZはN(0,1)に近似する。 > これだけでいいですか？なんか中心極限定理を使ってないような気がします。 そうですね。 最初に、中心極限定理が何なのかを書いてないと、何故N(0,1)に近似できるのか説明できてませんね。 中心極限定理とはこういうものであり、だからこうするとこの確率変数はn→∞のとき標準正規分布に従う。 そして、問題のZはn=12のときである。 という流れです。 > ちなみに、μ=0,σ=1の分布はみんなN(0,1)に近似するのですか。 分散の存在する分布については如何なる分布でも、その独立な確率変数の和を正規化した分布は、n→∞のとき標準正規分布になります。
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> ちなみに、私のやり方は合っていますか？ 中心極限定理自体は使って良いので、和の分布の平均と分散を求めて、和を平均0、分散1に正規化したものがZに一致することを示せば終わりです。 付け加えるとすれば、次の点です。 > Z=(1/√12)*(Σ(i=1,12)(Xi-1/2)/(√1/12)) > となり、ここの12をnと置き換えればn→∞のときに 12は3か所ありますが、どの12をnに置き換えればいいのですか？
お礼
＞12は3か所ありますが、どの12をnに置き換えればいいのですか？ 説明不足ですみません。 nと置き換える12はZ=(1/√12)*(Σ(i=1,12)(Xi-1/2)/(√1/12))の中の 3つ全部だと思います。合っていますかな... ＞中心極限定理自体は使って良いので、和の分布の平均と分散を求めて、和を平均0、分散1に正規化したものがZに一致することを示せば終わりです。 でしたら、こんな感じですか。 E(Z)=0,V(Z)=1なので、ZはN(0,1)に近似する。 これだけでいいですか？なんか中心極限定理を使ってないような気がします。 ちなみに、μ=0,σ=1の分布はみんなN(0,1)に近似するのですか。
> 問題文ではn=12であって、これが何を持って大きいといえるのです。 もっともな疑問ですが、幾つからならいいのかという答えはありません。 30以上だったりする場合もありますし、100以上の場合もあるでしょう。 ではどうやって決めれば良いのかというと、近似をしてそれをどう使うのかで決めます。 それによって、確率密度の差が幾つ以内とか、分布関数の差が幾つ以内とか、nを決める条件がでてくるでしょう。 目的がなんなのかを明確にして、それを達成できる精度になるようにnを設定すれば良いのです。 nの設定に使えそうなものとして、Berry-Esseenの不等式を挙げておきます。 質問の場合ですと差を大きく見積もってしまいますが、いろいろな分布に使えるのが利点です。
お礼
丁寧なご回答ありがとうございます。 ちなみに、私のやり方は合っていますか？ 本当に初心者なので(おまけに独学)、合っているかどうかかなり心配です。 後、この問題と一緒に出された問題を見ますとたぶんそんなハイレベルな問題じゃないと思いますので Berry-Esseenの不等式といういかにもハイレベルなものは使わないかもしれません。 私のやり方に問題があるかもしれません。もしquaestioさんが私が出した問題を解くとしたら、どういうふうに解きますか。
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