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[至急]幾何学の以下の問題について教えて下さい。
平面R^2を2つ用意し、Π1、Π2とする。 φ:Π1-{(0、0)} → Π2-{(0、0)}を φ(x、y)=(x/(x^2+y^2)、y/(x^2+y^2)) で定義する。 このφを用いて2平面を貼り合わせることで出来る多様体をMとする。 M中のΠ1の像をU1、Π2の像をU2とし、 この構成から自然に定まるU1からΠ1への写像をμ1、U2からΠ2への写像をμ2とする。 これについて以下に答えよ。 (1)写像φによりΠ1の円はΠ2の円にうつることを示せ。 (ただし、直線も円の一種と考えることとする。) (2)μ1(m)=(1、0)となるMの点mに対し、μ2(m)は何か。 (3)(2)の点mでの接空間をMmとする。 Mmは(Π1)_μ1(m)、(Π2)_μ2(m)と同型な2次元のベクトル空間である。 (Π1)_μ1(m)の接ベクトルd/dx、d/dyに対応するMmの接ベクトルをe1、e2とする時、 e1、e2に対応する(Π2)_μ2(m)の接ベクトルを求めよ。 (ヒント)(Π1)_μ1(m)の接ベクトルd/dx、d/dyは、 Π1上の曲線γ1(t)=(t-1、0)、γ2(t)=(1、t)のt=0での接ベクトルなので、 γ1、γ2のΠ2での像を調べて、そのμ2(m)での接ベクトルを対応させれば良い。 (4)Π1の原点と異なる点(x、y)に対応するMの点mでの接空間をMmとする。 (Π1)_μ1(m)の接ベクトルd/dx、d/dyに対応するMmの接ベクトルをe1、e2とする時、 e1、e2に対応する(Π2)_μ2(m)の接ベクトルを求めよ。
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＞以前テストの問題で出題されたものを記載した為、恐らく誤植は ＞無いと思います。 間違っているので誤植と書いたのですが、誤植はないとおっしゃる のですね？ それならば、解答用紙には「問題に不備があるので解答不能。」 と書けばよいです。 ＞その他について教えて 質問者さんが書かれたヒントの通り（ただし誤植を訂正すること が必要）に処理すればいいです。やっていることは実質高校2年 程度の数学なので、あまり細かく書きたくありません。 ξ=x/(x^2+y^2),η=y/(x^2+y^2)のときξ^2+η^2=1/(x^2+y^2) より、x=ξ(ξ^2+η^2),y=η(ξ^2+η^2) であることを使って、μ2(γ1(t)),μ2(γ2(t))を導き、そこから 接ベクトルを計算してください。
(1)は丁寧に計算してください。 (2)は明らかでは？ (3)はヒントに沿って素直に。 (4)は(3)をヒントに。 文中、誤植がいくつかありますのでまずその確認をしましょう。 専門課程の方のようですが、接ベクトルの理解をためす練習 問題にみえますので、自力でやらないともったいないですよ。
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