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あってますか？？
d^2y/dx^2-dy/dx-6y=0,y(0)=1,y`(0)=0のとき、dy/dx=zとおくと、dz/dx=z+6yになる。ｙを求めよ。っていう問題で、 d/dx=Dっておいて(D^2-D-6)y=0 だから(D-3)(D+2)y=0 よって（D-3)y=0または（D+2)ｙ=0 (D-3)y=0はdy/dx-3y=0でdy/dx=3y だからdy/y=3dx 両辺積分すると、logy=3x+C (Cは積分定数） y=e^(3x+C) M=e^Cとおくと y=Me^3x 同様にy=Ne^(-2x) あわせて、ｙ＝Me^3x+Ne^(-2x) y(0)=1,y`(0)=0より M=2/5,N=3/5 よってy=2/5e^3x+3/5e^(-2x) あってますか？？ 変なところあったら教えてください＞＜ 問題文の方法使ってないような気がするんですけど だめなんでしょうか？？ 連立微分方程式を使うやり方がわかる人は 教えてください！！！
- yochi1025
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- takamm
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d^2y/dx^2-dy/dx-6y=0を変形して、 d/dx(dy/dx+αy)=β(dy/dx+αy) となるとします。これを展開すると、 d^2y/dx^2+d(α-β)y/dx-αβy=0 これより、問題の式と各項の係数を比較して、 α-β=-1 -αβ=-6 これを解いて、(α,β)=(2,3),(-3,-2) (i) (α,β)=(2,3)のとき、 d/dx(dy/dx+2y)=3(dy/dx+2y) ここで、dy/dx+2y=zとおきます dz/dx=3z z=Ae^(3x) これより、 dy/dx+2y=Ae^(3x) x=0のとき、y(0)=1,y'(0)=0だから、それぞれを代入して、A=2が得られる。よって、 dy/dx+2y=2e^(3x) ―(*) (ii)(α,β)=(-3,-2)のとき、(i)と同様にして、 dy/dx-3y=-3e^(-2x) ―(**) (i),(ii)より、得られた2式より、 y=(2/5)e^(3x)+(3/5)e^(-2x) (∵(*)-(**)) 一応、微分方程式を連立で解いてますが、どうでしょうか？なぜ、dy/dx=zと置きたいのかは分かりませんが、上のようにおけば、解きやすいかと思います。dy/dx=zというのは、問題文に含まれていたのでしょうか？まず、そこが正しいか確認したほうがよいかと思います。dy/dx=zとおいて、解けないといってるわけではないのですが、自分としてはdy/dx=zとおいても解き方は思いつかないです。
- Tacosan
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「連立微分方程式を使う方法」が何を指しているかはしりませんが, 例えば dy/dx = z dz/dx = z+6y を行列で書くと (d/dx) (y, z) = ((0, 1), (6, 1)) (y, z) の形になる (ベクトル, 行列の形は雰囲気で察してください) から右辺の行列を A とおくと (y, z) = e^(Ax) (y(0), z(0)) とできるんですが.... いいのかなぁ, これで.
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