ベッセル関数： 本の記述は誤字？

質問

ベッセル関数について、次の関係式が成り立つことを示せ。
ただし、nは正の整数とする。

　　　　　{ x^n * J[n](x) }' = x^n * J[n-1](x)

模範解答

　　　　　J[v](x) = Σ[m=0,∞] { (-1)^m } / { m! * Γ(v+m+1) } * (x/2)^(2m+v)

を用いる。

　　　　　x^n * J[n](x) = Σ[m=0,∞] { (-1)^m } / { m! * Γ(n+m+1) } * (x/2)^(2m+n)　←誤字？

　　　　　x^n = 2^n * Σ[m=0,∞] { (-1)^m } / { m! * Γ(n+m+1) } * (x/2)^(2m+2n)　←誤字？

であるから、

　　　　　d/dx { x^n * J[n](x) } = 2^n * Σ[m=0,∞] { (-1)^m } / { m! * Γ(n+m+1) } * (m+n) * (x/2)^(2m+2n-1)
　　　　　　　　　　　　　　　　　　= x^n * Σ[m=0,∞] { (-1)^m } / { m! * Γ(n+m+1) } * (m+n) * (x/2)^(2m+n-1)

ガンマ関数の性質Γ(n+m+1) = (n+m) Γ(n+m) を用いると

　　　　　d/dx { x^n * J[n](x) } = x^n * Σ[m=0,∞] { (-1)^m } / { m! * Γ(n+m) } * (x/2)^(2m+n-1)
　　　　　　　　　　　　　　　　　　= x^n * J[n-1](x)

・・・と本に書かれていますが、模範解答の最初の部分は誤字ではないかと疑っています。

　　　　　x^n * J[n](x) = Σ[m=0,∞] { (-1)^m } / { m! * Γ(n+m+1) } * (x/2)^(2m+n)

の

　　　　　x^n * J[n](x)

は、本当は

　　　　　J[n](x)

と書くべきの誤字じゃないですか？ それと同様に

　　　　　x^n = 2^n * Σ[m=0,∞] { (-1)^m } / { m! * Γ(n+m+1) } * (x/2)^(2m+2n)　←誤字？
の

　　　　　x^n

は、本当は

　　　　　J[n](x)

と書くべきの誤字じゃないですか？

自分で解いてみますと、

　　　　　J[v](x) = Σ[m=0,∞] { (-1)^m } / { m! * Γ(v+m+1) } * (x/2)^(2m+v)

を用いて、

　　　　　x^n * J[n](x) = x^n * Σ[m=0,∞] { (-1)^m } / { m! * Γ(n+m+1) } * (x/2)^(2m+n)
　　　　　　　　　　　　　= Σ[m=0,∞] { (-1)^m } / { m! * Γ(n+m+1) } * (x/2)^(2m+n) * x^n * (2^n/2^n)
　　　　　　　　　　　　　= Σ[m=0,∞] { (-1)^m } / { m! * Γ(n+m+1) } * (x/2)^(2m+n) * (x^n/2^n) * 2^n
　　　　　　　　　　　　　= Σ[m=0,∞] { (-1)^m } / { m! * Γ(n+m+1) } * (x/2)^(2m+n) * (x/2)^n * 2^n
　　　　　　　　　　　　　= 2^n * Σ[m=0,∞] { (-1)^m } / { m! * Γ(n+m+1) } * (x/2)^(2m+n) * (x/2)^n
　　　　　　　　　　　　　= 2^n * Σ[m=0,∞] { (-1)^m } / { m! * Γ(n+m+1) } * (x/2)^(2m+2n)

・・・という感じで誤字だと思われる部分を計算しています。
よって、本の記述は、上記に示した通りの誤字ということで正しいですか？
もし私が間違っていたら、どうか訂正をお願いします。

回答No.1

noname#199771 · ベストアンサー

質問者さんの主張は正しいです。
解析系の特に初版本には誤植がつきもののようですね。

お礼

安心しました。
本に誤植だと書き込んでおきます。
ありがとうございました。