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a^b^c^・・・
正数列(a_n)が与えられていて1に収束するとします。 b_1=a_1 b_n={b_(n-1)}^a_n(n≧2) によって数列(b_n)を定めるとします。 (b_n)が収束しない(a_n)の例はありますか？
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- ereserve67
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帰納的にb_n>0だから l_n=log(b_n) とおくと log(b_n)=log(b_{n-1}^{a_n}) =a_nlog(b_{n-1}) l_1=log(a_1) l_n=a_nl_{n-1} ∴l_n=a_na_{n-1}・・・a_2l_1 ∴b_n=e^{l_n}=e^{a_na_{n-1}・・・a_2a_1log(a_1)/a_1} =e^{a_na_{n-1}・・・a_2a_1log(a_1^{1/a_1})} =(a_1^{1/a_1})^{a_na_{n-1}・・・a_2a_1} ここでa_n=(n+1)/nとおくと正数列{a_n}は1に収束します．そして a_na_{n-1}・・・a_2a_1 =(n+1/n){(n/(n-1)}{(n-1)/(n-2)}・・・(2/1) =n+1 ∴b_n=(√2)^{n+1} これはあきらかに正の無限大に発散します． 例：a_n=(n+1)/n
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