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中3数学です。
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- ferien
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>底面ABCが > AB=5cm BC=10cm CA=5√5cm ∠ABC=90°の直角三角形 > 側面が2つの長方形と1つの正方形である三角柱ABCDEF >(1)この立体の表面積は何平方cmか。 25(5+√5)平方cm >(2)辺AC上に点P、辺BC上に点Qを > AC:PC=2:1、AB//PQとなるようにとる。 >このとき点Cと面FPQの距離は何cmか。 AB//PQより、2組の同位角が等しいから、△ABCと△PQCは相似で、 相似比AC:PC=2:1だから、 PQ=(1/2)AB=5/2,QC=(1/2)BC=5 三角錐F-PQCの体積は、底面△PQC,高さFC=5と考えると、 △PQCは、AB//PQより、PQ⊥BCだから直角三角形。 だから、△PQC=(1/2)・PQ・QC=(1/2)(5/2)・5=25/4 体積=(1/3)・△PQC・FC=(1/3)・(25/4)・5=125/12 三角錐F-PQCのCを頂点、△FPQを底面と考えると、 Cから底面へ下した垂線の長さ(点Cと面FPQの距離)が、高さになるから、 それをhとおく。 △FQCは、∠FCQ=90°で、等辺5の直角二等辺三角形だから、FQ=5√2 △FPQについて、 AB//PQ,AB⊥長方形EBCFだから、PQ⊥長方形EBCFで、 FQは長方形EBCF内の線分だから、PQ⊥FQ よって、△FPQは∠PQF=90°の直角三角形だから、 △FPQ=(1/2)・FQ・PQ=(1/2)・5√2・(5/2)=25√2/4 よって、 体積=(1/3)・△FPQ・hより、 (1/3)・(25√2/4)・h=125/12 とおけるから、 h=(125/12)・(12/25√2) =5/√2 =5√2/2
- info22_
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(1) 表面積=⊿ABC*2+AD*(AB+BC+AC)=(5*10/2)*2 + 5*(5+10+5√5)=5(25+5√5)=25(5+√5) cm2 (2) Cから辺FPへ下ろした垂線の足をHと置くと点Cから辺FPへ下ろした垂線と、点Cからを面FPQに下ろした垂線は線分CHに一致する。 これはCFとCPとPRを三辺とする立方体を考えると分かる。ただし、線分PQのQの延長上にPR=2PQを満たす点をRとする。 三角形CHPはCH:PH:CP=1:1:√2の直角二等辺三角形(∠CHP=90°)であることから 点Cと面FPQの距離 =CH =CP/√2 = 5/√2 = 5(√2)/2 cm
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