行列でAB=Eの時、Bは一意的に決まるでしょうか？

質問

A がn次正方行列で、Eが単位行列の時、AB=Eが成り立つなら、
n次の正方行列Bは一意的に決まることが証明できるでしょうか？

回答No.8

alice_44 · ベストアンサー

A No.1 から、(∃B,AB=E) ならば detA≠0 が言えて、
ケイリー・ハミルトンの定理を式変形して A=(Aの多項式)/detA
という形の逆行列の存在が言える。
右辺の形から、「この」逆元の A との可換性は自明。
あとは、A No.4 のように、左逆元、右逆元それぞれの
唯一性を示せばよい。

お礼

どうもありがとうございます。

n次のdetもケイリ―ハミルトンの定理も完全に理解したわけではありませんが、
ご提示の方法でできるような気がします。

この方針を目標に本を読み進めます。
どうもありがとうございました。

回答No.24

178-tall

>A がn次正方行列で、Eが単位行列の時、AB=Eが成り立つなら…
>　　　　↓
>A, B の rank は n のはず。

「線形代数」テキストの多くは、目もくれずサッサと通り過ぎるようです。

その理由は、単純。

「逆行列の段」に入る前に「行列乗算の段」があって、たとえば正方行列積 AB = C について、
　rank(A), rank(B) ≧ rank(C)
みたいなハナシを済ませたばかり、だからでしょうね。

お礼

どうもありがとうございます。

やはりもっと勉強を先に進めないと理解できないみたいなので、
年末・年始に頑張ります。

この度は何度もご回答頂き、どうもありがとうございました。

回答No.23

alice_44

その可換性を問うているのだということが、
A No.2 や A No.4 の「お礼」欄以来
度々書かれているようだが？

お礼

どうもありがとうございます。

ご指摘の通りです。
「AB=EでABが可換」⇒「Bが一意的」は高校レベルですので、証明も理解しております。

「AB=EでABが可換」⇒「Bが一意的」なので、
最初の質問を「AB=EでABが可換を証明したい」とした方が良かったですね・・・

回答No.22

178-tall

いくら何でも、寄り道し過ぎ気味。一旦スリム化。

>A がn次正方行列で、Eが単位行列の時、AB=Eが成り立つなら…
　　　　↓
A, B の rank は n のはず。
(E の rank が n で、A, B の rank 未満にはなり得ないから)

>…『AB=Eの時、BA=Eも成り立つか？』
　　　　↓
BC = E を満たす n 次正方行列 C があるはず。
AB = BC = E だから、C = EC = (AB)C = A(BC) = AE = A 。
i.e. AB = BA = E 。

それともこっちが本命？
　　　　↓
>Bは一意的に決まる…
　　　　↓
AB = AC = E として、A と B, C は可換だから、
　B = BE = B(AC) = (BA)C = (AB)C = EC = C

お礼

度々どうもありがとうございます。

実はまだ線型代数の勉強し始めたばかりで
「n次行列Ａのランクがn ⇔ Aが正則」の証明も分かっていない状態です…。

恥ずかしながら躓いているのは最初の
>A, B の rank は n のはず。
です。

回答No.21

alice_44

←A No.18 補足
A No.5 だと、写像 x→Ax を考えているから、
A No.17 と同じになってしまう気がする。
むしろ、同氏の A No.3 によって A,B の役割を
入れ換えてから A No.17 のようにするといい。
…てか、写像のほうを転置して書けば、
A No.18 のように整理できる。

いずれにせよ、直接に行列の中身を操作せず、
成分計算は補題に閉じ込めておいたほうが、
見通しは立てやすい。

お礼

どうもありがとうございます。

証明の流れとしてはぼんやり分かったのですが、
精緻の議論になるとやはり全然ついていけません…。

成分計算には持ち込まない方が良いという点は分かりました。

回答No.20

178-tall

>「Bx = 0 は自明解 (x=0) のみを持つとき、Ｂは正則行列である。」
>ここは本来証明が必要だと思うのですが、その過程で、「Bは左逆元を持つ。ゆえに右逆元も存在する。よって正則行列である。」・・・(1)
>という議論が入っていないかと心配しております。

寄り道気味の ANo.19 は「A の右逆行列 B が存在すれば、A も B もランクは 2 のはず」という (ごく当たり前の) ハナシです。

テキスト書式で行列を記すのは面倒ゆえ、2 次正方行列の例で誤魔化しましたけど、次元は拡張可能。

お礼

どうもありがとうございます。

「n次行列Ａのランクがn ⇔ Aが正則」の事実までは調べて分かるのですが、
この証明が分からないので結局は本質的には何も理解できません…。

すみません、勉強不足です…。

回答No.19

178-tall

2 次正方行列で A の右逆行列 B の存在、
　AB = E　　　　…(*)
を想定すると？

A の各列を A1, A2 、E の各列を E1, E2 とすると、(*) は、
　B11*A1 + B21*A2 = E1
　B12*A1 + B22*A2 = E2
を合体させた形であり、右辺 E1, E2 が独立なペアだから、A1, A2 も独立なペアのはず。

同様な見方により、B の各行 B1, B2 も独立なペアのはず。

…というのが「次元定理」の軟派的な解釈でしょうか。

お礼

再度のご回答どうもありがとうございます。

Ｅを列ごとに分解し、さらにそれを分解表示するという感じでしょうか？
次元定理についてはまだほとんどわかりませんが、皆様のご回答を見ますと
とても便利そうなので、早く理解できるように頑張ります。

どうもありがとうございました。

回答No.18

alice_44

←A No.17
その路線で行きたいなら、
むしろ、行ベクトル y についての
方程式 yA=0 を考えてみては？

これが自明解 y=0 しか持たないことから、
線型写像 y→yA が単射であることが言えて、
次元定理より、全射であることも言える。

任意の行ベクトル z に対して
yA=z が解を持つことになるから、
z に標準基底を次々代入して得られる y を
行として並べた行列を C とすれば、
CA=E が成立している。

左逆行列の存在さえ言えてしまえば、
C=B は、既に A No.2 に示されてある。

…って、A No.8 のほうがシンプルだよ、やっぱ。

お礼

再度のご回答どうもありがとうございます。

写像Aが一対一対応である(次元定理)ことから
値域の単位元Eに対する定義域の元(逆元)も存在するとするのですね。

A.No5様の回答も多分同じ方針なのですね。

時間が掛かりそうですが、次元定理の証明も頑張ってみます。

どうもありがとうございました。

回答No.17

178-tall

>>つまり、Bx = 0 は自明解 (x=0) のみをもち、正則。

>ここの部分が気になっております。正則についての定義以前の問題なので、循環論法にならないか危惧しております。

…ならば、下記コメントのどこに「循環論法」が潜んでいそうか、指摘してみてください。

n 次正方行列 A の右逆行列 B を想定、
つまりAB = E なる B が存在すれば、
方程式 Bx = 0 を想定して、A を左乗すると、
　0 = A0 = A(Bx) = (AB)x = Ex = x
つまり、Bx = 0 は自明解 (x=0) のみをもち、正則。

お礼

どうもありがとうございます。

>…ならば、下記コメントのどこに「循環論法」が潜んでいそうか、指摘してみてください。

>つまり、Bx = 0 は自明解 (x=0) のみをもち、正則。

「Bx = 0 は自明解 (x=0) のみを持つとき、Ｂは正則行列である。」
ここは本来証明が必要だと思うのですが、
その過程で、「Bは左逆元を持つ。ゆえに右逆元も存在する。よって正則行列である。」・・・(1)
という議論が入っていないかと心配しております。

(1)は、今回の質問の趣旨そのものですので、その事実を用いた上での証明でしたら
循環論法になってしまうと思ったのです…。

ここの証明を今本で調べているのですが、なかなか見つかりません…。
ここの証明の概要など分かりますでしょうか？

回答No.16

178-tall

>…AB=Eが成り立つなら、n次の正方行列Bは一意的に決まる…

ANo.15 → 本題を忘れてました。

n 次正方行列 A の右逆行列 B, C を想定。
　AB = AC = E
A と B, C は乗法可換だから、
　B = BE = B(AC) = (BA)C = (AB)C = EC = C

お礼

どうもありがとうございます。

#15のお礼欄に記したところ以外は理解できました。

回答No.15

178-tall

ANo.7 →
>次元定理というのをググって調べてみましたが、残念ながら私の今の段階では全然理解できそうにありません…。

それほど大それたハナシじゃありません。
n 次正方行列 A の右逆行列 B を想定、つまりAB = E とて、A, B の乗法可換性の粗っぽいブリーフィングだけでも…。

[B の正則性]
方程式 Bx = 0 を想定して、A を左乗すると、
　0 = A0 = A(Bx) = (AB)x = Ex = x
つまり、Bx = 0 は自明解 (x=0) のみをもち、正則。

[A, B の乗法可換性]
前項は rank(B) = n を意味するから、n 次正方行列 X に対し方程式 BX = E は一意解 C をもつ。
BC = E だから、AB = BC = E 。
A = AE = A(BC) = (AB)C = EC = C 。
i.e. AB = BA = E 。

お礼

再度のご回答どうもありがとうございます。

>つまり、Bx = 0 は自明解 (x=0) のみをもち、正則。

ここの部分が気になっております。
正則についての定義以前の問題なので、循環論法にならないか危惧しております。
ここの証明が分かればよいのですが…。