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行列でAB=Eの時、Bは一意的に決まるでしょうか？
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A No.1 から、(∃B,AB=E) ならば detA≠0 が言えて、 ケイリー・ハミルトンの定理を式変形して A=(Aの多項式)/detA という形の逆行列の存在が言える。 右辺の形から、「この」逆元の A との可換性は自明。 あとは、A No.4 のように、左逆元、右逆元それぞれの 唯一性を示せばよい。
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>「AB=E, AC=E の時、B=Cを証明せよ」 M の転置行列を M~ と書く。まず、 AB=E ⇒ (BA)~ = E ⇒ BA = E 以下、 AB=E かつ AC=E ⇒ B = BE = B(AC) = (BA)C = EC = C
お礼
ご回答どうもありがとうございます。 すみません、 AB=E ⇒ (BA)~= E のところが分かりません・・・。 AB=E ⇒ (AB)~=E なら分かるのですが…。
#1です。 C,DをAの逆行列とすると、 C=C(AD)=(CA)D=D となります。
お礼
再度のご回答どうもありがとうございます。 実は逆行列の定義に関しての質問なので、逆行列という言葉を使わないで証明して頂きたいのです…。 つまりAD=Eはよいですが、CA=Eは証明なしには使わないでほしいのです。 「AB=E , AC=E の時、B=Cを証明せよ」・・・(1)という問いで、 つまり「AB=Eのならば、BA=E」・・・(2)が成り立つことを証明できても解決になります。 (1)または(2)の証明を教えて頂きたいのです。 言葉足らずですみません。 よろしくお願い致します。
(detA)(detB)=det(AB)=detE=1より、 detA≠0となってAは逆行列をもちます。
お礼
ご回答どうもありがとうございます。 Aが逆行列を持つかという質問ではなく、Bがただ一つに定まるかという質問です。 「Aが逆行列を持つときはただ一つのみか？」という問いに近いです。(少し違いますが…。) よろしくお願い致します。
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