行列でAB=Eの時、Bは一意的に決まるでしょうか？

質問

A がn次正方行列で、Eが単位行列の時、AB=Eが成り立つなら、
n次の正方行列Bは一意的に決まることが証明できるでしょうか？

回答No.8

alice_44 · ベストアンサー

A No.1 から、(∃B,AB=E) ならば detA≠0 が言えて、
ケイリー・ハミルトンの定理を式変形して A=(Aの多項式)/detA
という形の逆行列の存在が言える。
右辺の形から、「この」逆元の A との可換性は自明。
あとは、A No.4 のように、左逆元、右逆元それぞれの
唯一性を示せばよい。

お礼

どうもありがとうございます。

n次のdetもケイリ―ハミルトンの定理も完全に理解したわけではありませんが、
ご提示の方法でできるような気がします。

この方針を目標に本を読み進めます。
どうもありがとうございました。

回答No.14

misumiss

いただいた補足質問に, お答えします.

＞ これは「n次の任意の行列Aは、rankがnの適当な行列Pを掛けることで、階段行列に変形できる」
＞ と解釈すればよいでしょうか？
はい, その解釈で間違いありません.

＞ 証明の方法も調べ方も全然思いつかないので、私にはハードルが高そうです…。
証明は難しくはありませんが, "掃き出し法," という方法を使い, 慣れていないと面倒かもしれません.
ただ, 常識と見なせる補題を使うことを一切拒否するのであれば,
A = (a_ij), B = (b_ij), AB = (c_ij), BA = (d_ij) として,
c_ij = δ_ij という条件から d_ij = δ_ij を導く以外に方法はないでしょう.
その作業は, おそらく掃き出し法よりも更に面倒だと推測されるので, 回答者たちが挙げている補題のどれかを使うことを, 認めるしかないと思います.

最後の質問に関してですが,
＞この場合CB = P　より、C=Eとならないのですが・・・。
P は "rankP = n を満たす適当な n 次正方行列," であって, "rankP = n を満たす任意の n 次正方行列," ではありません.

お礼

再度のご説明どうもありがとうございます。

n次なると階段行列になることを示すのも文字が多くて大変そうです…。

>P は "rankP = n を満たす適当な n 次正方行列," であって, "rankP = n を満たす任意の n 次正方行列," ではありません.

つまり、
「PA=C かつ CB=P さらにrankP=n　かつCは階段行列」という全条件から
C=Eを導くのですね

難しいですね…。

回答No.13

alice_44

ありゃ、失礼。
No.8 には、誤記があった。

ケイリー・ハミルトンを変形して、
Aの逆行列 = (Aの多項式)/detA

お礼

わざわざご丁寧に訂正までして頂き、ありがとうございます。

回答No.12

alice_44

シンプルに、A No.8

お礼

N0.8の方法はとてもシンプルにできそうですよね。
私も理解できるように頑張ります。

ありがとうございました。

回答No.11

中村 拓男（@tknakamuri）

>私が知りたいのは、
>『AB=Eの時、BA=Eも成り立つか？』ということです。

私もだいぶ前に質問しました。

これをちゃんと扱っている教科書は意外に少ないです。

また、ここで答えられるようなシンプルな答えは無いですので、
以下を参照してみてください。

http://okwave.jp/qa/q6678784.html

お礼

どうもありがとうございます。
ご提示のサイトはとても参考になりました。

斎藤先生の本は実は持っていまして、覗いてみましたが、
難しい…。

少し時間が掛かりそうです…。

どうもありがとうございました。

回答No.10

中村 拓男（@tknakamuri）

No.9です。補足。

AB=E なら A は正則

としています。つまり右逆行列の存在=正則

一般的な線形代数の本の定義とはちょっとだけ違うと思います。

お礼

補足のご説明どうもありがとうございます。

大抵の本が「正則＝左右逆元が存在」となっているので、なかなか調べづらいです…。

回答No.9

中村 拓男（@tknakamuri）

まず予備知識として

1) 分配則

A(F±G) = AF ± AG

2) 正則行列の性質

　正方で全ての要素が 0 の行列を Z とし、Aが正則な場合
H≠Z ならば AH≠Z

この２つの証明はいろいろな本に載っているので、それを見ていただくことにして

AF=E, AG=E, F≠G となる F, G が存在すると仮定すると、1) から

F-G≠Z だが、A(F-G)=Z

これは 2) と矛盾するので F-G=Z ⇔ F＝G。

つまり、AB=E の B は 正則なA に対して一つしかありません。

尚、AB=E なら CA=E が存在すること、C=B になることを証明するのも面白いですよ。

お礼

ご回答どうもありがとうございます。

2)の
AB=E、AH=0の時、H≠0
というのが私には一番難しいです…。
detなども使うのでしょうか…。

回答No.7

178-tall

>AB=E ⇒ (BA)~= E のところが分かりません・・・。

(BA)~= E は「筆の滑り過ぎ」。

　「次元定理？」から、n 次行列 A は左逆元または右逆元のどちらか一方を持てば可逆。

を利用するのが正道みたいです。

お礼

ご回答どうもありがとうございます。

次元定理というのをググって調べてみましたが、残念ながら私の今の段階では全然理解できそうにありません…。

どうもありがとうございました。

回答No.6

misumiss

n 次正方行列, A, B, が, AB = E を満たしているのですね.
一般に, n 次階段行列 C と, rankP = n を満たす適当な n 次正方行列 P を用いて,
PA = C が成り立ちます（この程度は, 御自分で証明してください. 階段行列の定義すら知らないのなら, 今回の疑問は後日の課題としましょう）.
すると, CB = (PA)B = P(AB) = P となり,
さらに, rankP = n より, C = E であることがわかります.
これより, B = P が導かれるので,
BA = PA = C = E であることが示されました.
補足質問は受け付けますが, 良識の範囲内にとどめてください.

お礼

ご回答どうもありがとうございます。

階段行列とrankについては調べまして分かりました。

少しだけ教えて頂きたのですが、

>一般に, n 次階段行列 C と, rankP = n を満たす適当な n 次正方行列 P を用いて,
>PA = C が成り立ちます

これは「n次の任意の行列Aは、rankがnの適当な行列Pを掛けることで、階段行列に変形できる」
と解釈すればよいでしょうか？
証明の方法も調べ方も全然思いつかないので、私にはハードルが高そうです…。

>すると, CB = (PA)B = P(AB) = P となり,
>さらに, rankP = n より, C = E であることがわかります

こちらに関しなのですが、
例えば、
Ｂ＝ (2 1) 、Ｐ＝(3 2) とした時
　　　(3 5) 　　　　(2 5)
rankP =2だと思うのですが、
この場合CB = P　より、C=Eとならないのですが・・・。
多分私の考え違いだと思うですが…。

よろしくお願い致します。

回答No.5

noname#171951

条件を後から小出しにするのはカンベン
してください。

f(x)=Ax（x∈K^n）によってfを定義します。
x=ABx（∀x）なのでfは全射。
n=rankf+dimKerfなのでKerf={0}
つまりfは単射です。

このあとはわかりますよね？

お礼

どうもありがとうございます。

すみません、まだKerなどは分からないのです…。
線形代数をかじったレベルでも理解できる証明方法はないでしょうか？

回答No.4

Tacosan

念のためあなたのいう「逆行列」の定義を書いてもらえませんか?

まさか,
AB = AC = E だから A(B-C) = O, 左から A の逆行列を掛ければ終わり
レベルじゃないよね?

お礼

ご回答どうもありがとうございます。

教科書片手に苦闘しておりますので、逆行列の定義は分かります。

『AB=E、BA=Eの時、BをAの逆行列という』

私が知りたいのは、
『AB=Eの時、BA=Eも成り立つか？』ということです。

よろしくお願い致します。