ガロア理論の分解体に関する疑問
- ガロア理論の分解体の存在定理は、体Fの多項式f(x)には必ず分解体が存在することを示しています。
- しかし、分解体が存在すればf(x)は一次多項式の積として表せるわけではなく、すべての方程式が解けるという意味でもありません。
- そして、体の拡大においては既知の数のみを基に拡大するのではなく、未知数のままの拡大も考えられます。
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ガロア理論:分解体に関する疑問
下の定理について,よくわからないのでどなたかわかる方教えてください. 分解体の存在定理: 体Fの多項式f(x)には必ず分解体が存在する 1.この定理の意味はどのような考え方に基づいているのでしょうか.間違って理解しているのかも知れません. 1)分解体が存在すれば,f(x)は一時多項式の積として表せるということですが,一次多項式の積として表せるのであれば,すべての方程式が解けるということと同義ではないのでしょうか 2)体の拡大をいう場合既知の数例えば√2を基に行い拡大体F(√2)が構成されることはわかりますが,方程式f(x)の根が存在することは代数学の基本定理で明らかであっても,その根がわからない(解けない)状態で体の拡大は行えると考えているのでしょうか(未知数のままの拡大). 未知数のまま拡大するという意味であれば,分解体の存在定理は当然のことのように見えます. よろしくお願いします.
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質問文の末尾が、イイトコを突いている。 体 F 上の代数方程式 f(x)=0 の分解体は、 f(x)=0 の解 x=x1,x2,…,xn によって F を拡大した F(x1,x2,…,xn) である。 F が、ある代数閉体 L の部分体であれば、 F⊂L, x1,x2,…,xn∈L だから、L の中で F(x1,x2,…,xn) が定義できる。 解が未知のまま、それに名前をつけて添加した だけであり、存在は当然っちゃ、当然なんだが、 体の添加拡大には、全体を覆う体 L の存在が 先に必要だし、f(x)=0 が L に解を持つように L は代数閉体でなければならない。 F=Q なら L=C とすればよいが、 一般の体 F に対して L が見つけられるか？ ということ。ここがボイントかな。 F 係数多項式環 F[X] を f(X) が生成する単項 イデアルで割った商環 F[X]/(f(x)) の分数体が、 具体的に f(x) の分解体と同型だから、 F が一般体の場合は。こっちから攻めれば、 代数閉体 L を探さずに済む。
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