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確率の質問です
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n回繰り返した後にAの袋に白玉が入っているのは、 (n-1)回後にAの袋に白玉が入っていてn回目にAの袋から 黒玉が取られた場合と、 (n-1)回後にBの袋に白玉が入っていてn回目にBの袋から 白玉が取られた場合。 n-1回繰り返した後にAの袋に白玉が入っている確率は a_(n-1)で、n回目にAの袋から黒玉が取られる確率は1/2。 n-1回繰り返した後にBの袋に白玉が入っている確率は 1-a_(n-1)で、n回目にBの袋から白玉が取られる確率は1/3。 よって、 a_n=(1/2)a_(n-1)+(1/3){1-a_(n-1)}=(1/6)a_(n-1)+1/3 a_(n-1)=(1/6)a_(n-2)+1/3 a_(n-2)=(1/6)a_(n-3)+1/3 ・・・・・・・・・・・・・・ a_2=(1/6)a_1+1/3だから a_n=(1/6)a_(n-1)+1/3=(1/6)^2a_(n-2)+(1/6)(1/3)+1/3 =(1/6)^3a_(n-3)+(1/3){(1/6)^2+(1/6)+1} =・・・・・・・・・・・・・ =(1/6)^(n-1)a_1+(1/3){(1/6)^(n-2)+(1/6)^(n-3)+・・・1/6+1} a_1=1/2だから a_n=(1/2)(1/6)^(n-1)+(1/3){(1/6)^(n-2)+(1/6)^(n-3)+・・・1/6+1} =(1/6)^n+(1/3){(1/6)^(n-1)+(1/6)^(n-2)+・・・1/6+1} =(1/6)^n+(2/5)-(2/5)(1/6)^n=(3/5)*(1/6)^n+2/5・・・・答え
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- ereserve67
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Aの状態は各試行後に次の3つの状態を入れ替わる. S_0:黒2 S_1:白1黒1 n回試行後それぞれの状態にある確率をそれぞれp_n,q_nとする. 状態遷移確率は次のようになる: P(S_0|S_0)=2/3 P(S_1|S_0)=1/3 P(S_0|S_1)=1/2 P(S_1|S_1)=1/2 よって (1)p_{n+1}=p_n(2/3)+q_n(1/2) (2)q_{n+1}=p_n(1/3)+q_n(1/2) 両辺加えると p_{n+1}+q_{n+1}=p_n+q_n p_0=0,q_0=1であるから p_n+q_n=1 これと(2)から q_{n+1}=(1-q_n)(1/3)+q_n(1/2) q_{n+1}=(1/6)q_n+1/3 q=(1/6)q+1/3(q=2/5)から q_{n+1}-2/5=(1/6)(q_n-2/5) q_n-2/5=(1/6)^n(q_0-2/5) =(1/6)^n(1-2/5)=(3/5)(1/6)^n a_n=q_nだから a_n=2/5+(3/5)(1/6)^n ※n=0は施行前の状態と解釈する(a_0=1).
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ありがとうございました。
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