極限について(確率で使用)

質問

確率の問題で、微積分を使うものがあるのですが、
微積分が苦手です。どなたかご教授ください。

∞/∞は極限の不定形であると思うのですが…

とある確率Pnと、lim[n→∞]Pnを求める際、
Pn=f(n)/g(n)
f(n)=3(n-1)(n-2)+45n(n-1)(n-2)+2(2n-1)(2n-2)+24n(2n-1)
g(n)=24(6n-1)(6n-2)

となりました。
ここで、Pnが約分できずに困っていたのですが(問題自体が極限の問題なら強引に約分して求めるところですが、確率なのでスマートに約分できないか考えていました)、参考書の回答を見ると、
上記のPn導出過程までは同じで、その後
lim[n→∞]Pn=(3+45+2・2・2+24・2)/(24・6・6)=13/108
となっており、混乱しております。
(∞+x=∞として、∞/∞=1としている?)
ここの詳細について、どなたかご教授ください。

ちなみに問題はやや複雑ですが、参考のため載せておきます。

nを自然数とする。袋Aに4n個の白玉と2n個の黒玉を、袋Bにはn個の白玉と5n個の黒玉をいれる。
いまここに、1/4の確率で袋Aを、3/4の確率で袋Bを取り、そこから3個の玉を同時に取り出す時、白玉の方が多ければ袋A、黒玉の方が多ければ袋Bと判定するとする。
判定が誤っている確率をPnとする。
lim[n→∞]Pnを求めよ。

回答No.2

ferien · ベストアンサー

＞f(n)=3(n-1)(n-2)+45n(n-1)(n-2)+2(2n-1)(2n-2)+24n(2n-1)
のところが、
＞f(n)=3(n-1)(n-2)+45n(n-1)+2(2n-1)(2n-2)+24n(2n-1)
になればいいと思います。

もう一度確認してみてはどうでしょうか？

回答No.3

DJ-Potato

袋Aを選んで
　○○○　4n・(4n-1)・(4n-2)/6n・(6n-1)・(6n-2)
　○○●　3・4n・(4n-1)・2n/6n・(6n-1)・(6n-2)
　○●●　3・4n・2n・(2n-1)/6n・(6n-1)・(6n-2)
　●●●　2n・(2n-1)・(2n-2)/6n・(6n-1)・(6n-2)
袋Bを選んで
　○○○　n・(n-1)・(n-2)/6n・(6n-1)・(6n-2)
　○○●　3・n・(n-1)・5n/6n・(6n-1)・(6n-2)
　○●●　3・n・5n・(5n-1)/6n・(6n-1)・(6n-2)
　●●●　5n・(5n-1)・(5n-2)/6n・(6n-1)・(6n-2)

Pn=A○●●+A●●●+B○○○+B○○●
　= {24n^2(2n-1) + 2n(2n-1)(2n-2) + 3n(n-1)(n-2) + 45n^2(n-1)}/{24n(6n-1)(6n-2)}
　= {24n(2n-1) + 2(2n-1)(2n-2) + 3(n-1)(n-2) + 45n(n-1)}/{24(6n-1)(6n-2)})(6n-2)}
　= {24・2・n^2(1-1/2n) + 2・2・2・n^2(1-1/2n)(1-1/n) + 3・n^2(1-1/n)(1-2/n) + 45n^2(1-1/n)}/{24・6・6・n^2(1-1/6n)(1-1/3n)}
　= {48(1-1/2n) + 8(1-1/2n)(1-1/n) + 3(1-1/n)(1-2/n) + 45(1-1/n)}/{24・6・6(1-1/6n)(1-1/3n)}

n→∞の時
Pn = {48(1-0) + 8(1-0)(1-0) + 3(1-0)(1-0) + 45(1-0)}/{24・6・6(1-0)(1-0)}
= {48+8+3+45}/{24・6・6}
= 13/108

ですかね。

回答No.1

alice_44

f の係数 45 が掛かっている項は、
間違っているのではないでしょうか。
f/g の分子分母を nn で割ってから
n→∞ とすればよいのだと思います。
分数式の極限の処理としては、基本どおりです。