とあるサイトの重心について

質問

n次元図形Dの重心(g1,g2,・・・,gn)は
gi=(∫D xi dx1 dx2 ・・・ dxn)/(∫D dx1 dx2 ・・・ dxn)
ただし1≦i≦n

と書いてあったのですが、dx1、dx2・・・とはなんなのでしょうか？

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回答No.3

ereserve67 · ベストアンサー

n=1としましょう．直線上で考えることになります．直線上の任意の点P(x)について

x1=x

です．重心の式は

g1=∫Dxdx/∫_Ddx

dx1=dxは図形D上の点xにおける長さの要素です．これを積分した（足し上げた）分母はDの長さとなります．

例：D={x|0≦x≦a}

g1=∫_0^axdx/∫_0^adx=[x^2/2]_0^a/a=a/2

次にn=2としましょう．平面上で考えることになります．平面内の任意の点P(x,y)について

x1=x
x2=y

です．重心の式は

g1=∬_Dxdxdy/∬_Ddxdy
g2=∬_Dydxdy/∬_Ddxdy

ベクトルg=(g1,g2),r=(x,y)で書くと

g=∬_Drdxdy/∬_Ddxdy

となります．

dx1,dx2すなわちdx,dyは図形D上の点r=(x,y)と，rから少しdr=(dx,dy)だけずらした点r'=(x+dx,y+dy)を結ぶ対角線とする長方形の2辺の長さと言えるでしょう．dxdyがその微小な長方形の面積dSです．

dS=dxdy

重心は次のようにかけます．

g=∬_DrdS/∬_DdS

分母はDの面積Sですね．

例：D={(x,y)|0≦x≦a,0≦y≦b}

g1=∫_0^axdx∫_0^bdy/(ab)=(a^2/2)b/(ab)=a/2
g2=∫_0^adx∫_0^bydy/(ab)=a(b^2/2)/(ab)=b/2

g=(a/2,b/2)

さて，一般にn次元空間において，r=(x1,x2,・・・,xn)，g=(g1,g2,・・・,gn)とかくと重心は次のようになります．

g=∫∫・・・∫_D r dx1 dx2 ・・・ dxn/∫∫・・・∫_D dx1 dx2 ・・・ dxn

n=3だったら分母は図形Dの体積ですね．dx1dx2dx3は体積要素．

このように本当は∫記号をn個書くべきなのですが，面倒なので一つにしているわけです．dx1,dx2,・・・はもう分かるでしょう．

n次元図形Dの「体積」要素が

dx1dx2dx3・・・dxn

となるのです．

お礼

詳しくありがとうございました

回答No.2

Tacosan

dx なんかと同じですよ. d とその他を切り離して考えてみてください.

補足

x1、x2・・・というのがあるのはわかりました
ただこれらは何なのでしょうか？
重心のx座標はg1のはずですし

回答No.1

Tacosan

dx とか dy とかなら分かりますか?

補足

それはわかります
xやyの微小変化ですよね？