解析学の重心を求める問題を教えて下さい。

質問

平面図形の重心(x,y)平面内の領域Dの重心はDの面積を|D|と書けば
(1/|D|・∫∫xdxdy,1/|D|・∫∫ydxdy)
と表される。

これを利用して次の問いに答えなさい。
半径a>0、中心角2θ(0<θ<π/2)の扇形Dを次のように配置する。
このとき、Dの重心を求めなさい。
D={(x,y):x^2+y^2≦a^2,-(tanθ)x≦y≦(tanθ)x}

分からず困っています。
この問題の答えを教えて下さい
お願いいたします

回答No.2

spring135 · ベストアンサー

重心Gの座標

G(∫∫xdxdy/∫∫dxdy,∫∫ydxdy/∫∫dxdy)=(xG,yG)　　　　（1）

ここに

∫∫dxdy=|D|　　　　　　　　　　　　　　　　　（2）

質問者が大学生以上であることを前提にして回答します。

高校生以下では教え方がわかりません。

Dがxy座標では変数分離できなくて積分が実質不可能なのでヤコビアンJを用いて

極座標系：rφ座標の積分に変換します。

一般式は

∫∫(in D)P(x,y)dxdy=∫∫(in D')P(rcosφ,rsinφ)Jdrdφ

=∫∫(in D')P(rcosφ,rsinφ)[∂(x,y)/∂(r,φ)]drdφ

です。D'はDをr,φの変域として表したものです。

x=rcosφ, y=rsinφより

J=∂(x,y)/∂(r,φ)=(a11,a12,a21,a22)(2×2行列の行列式）

=a11*a22-a12*a21

a11=∂x/∂r=cosφ, a12=∂y/∂r=sinφ, a21=∂x/∂φ=-rsinφ, a22=∂y/∂φ=rcosφ

以上より

J=r

∫∫(in D)P(x,y)dxdy=∫∫(in D')P(rcosφ,rsinφ)rdrdφ (3)

D'はr:0~a, φ:-θ~θです。

|D|=は(3)においてP(x,y)=1として(2)より

|D|=∫∫dxdy=∫(0~a)∫(-θ~θ)rdrdφ=[r^2/2](0~a)[φ](-θ~θ)=a^2θ (4)

(1)において

∫∫xdxdy=∫(0~a)∫(-θ~θ)[rcosφ]rdrdφ=[r^3/3](0~a)[sinφ](-θ~θ)=(2/3)a^3sinθ (4)

⇒　xG=∫∫xdxdy/|D|=(2/3)asinθ/θ

∫∫ydxdy=∫(0~a)∫(-θ~θ)[rsinφ]rdrdφ=[r^3/3](0~a)[-cosφ](-θ~θ)=0 (5)

⇒　yG=∫∫ydxdy/|D|=0

以上より

重心（(2/3)asinθ/θ,0)

お礼

有難うございます。
本当に助かります

回答No.3

yyssaa

＞-(tanθ)x≦y≦(tanθ)xからDはx軸を対称軸とした半径aの
扇形だから、Dの重心はx軸上にあるので、1/|D|・∫∫xdxdy
だけを計算すればよい。
微小面積をrdrdα、x=rcosαとすると
∫∫xdxdy=∫(α=-θ→θ)cosα{∫(r=0→a)r^2dr}dα
=2∫(α=0→θ)cosα{∫(r=0→a)r^2dr}dα
=(2/3)a^3∫(α=0→θ)cosαdα=(2/3)a^3[sinα](α=0→θ)
=(2/3)a^3sinθ
|D|=πa^2(2θ)/(2π)=a^2θだから
1/|D|・∫∫xdxdy=(2/3)a^3sinθ/a^2θ=(2/3)asinθ/θ
重心は((2/3)asinθ/θ,0)・・・答

お礼

分かりました。
どうも有難うございます

回答No.1

noname#221368

問題の意図が見え見えなのと、(1/|D|・∫∫xdxdy,1/|D|・∫∫ydxdy)を使って計算するだけなので、答えは書きません。

　まずDが、どのような扇形の配置になるか、図示しましょう。その上で恐らく、積分は極座標に変数変換して計算するのが便利でしょう。

　つまり極座標にさっくり変換できるか？、変換の際にヤコビアンをちゃんと使えるか？が、この問題の意図でしょう。