入試問題

質問

この問題の解答を教えて下さい。宜しくお願いします。

a≧0とする。ｘｙ 平面において、 x=a, x=a+1, y=3 | x^2-1 | +1, y=0
で囲まれた図形の面積を S(a) とする。

次の問いに答えよ。

(1) S(a) を求めよ。

(2) S(a) の増減表をかけ。

(3) S(a) の最小値とその時の a の値を求めよ。

回答No.2

Dr-Field · ベストアンサー

| x^2-1 | に関して。
この部分は-1＜x＜1の範囲においては-x^2+1になり、x≦-1 or 1≦xの範囲においてはx^2-1になるのはよろしいでしょうか。
また、グラフを書けばわかると思いますが、aがどこに入るかで場合分けをする必要があります。ここがこの問題を解く上でのキーポイントですね。

0≦a≦1の時と、1＜aの時です。

(1)
0≦a≦1の時は、a～1まではy=-3x^2+4ですし、1～a+1まではy=3x^2-2です。各々について積分する必要があります。
S(a)＝∫a→1(-3x^2+4)dx＋∫1→a+1(3x^2-2)dx＝・・・＝2a^3+3a^2-3a+3

1<aの時は、常にy=3x^2-2なので、それを積分。
S(a)＝∫a→a+1(3x^2-2)dx＝・・・＝3a^2+3a-1

(2)
0≦a≦1の時
S'(a)＝6a^2+6a-3、これはa=(-1±√3)/2の時にS(a)は極値を取る事を意味するが、0≦a≦1だから、a=(-1+√3)/2の時に極小値を取る。

1＜aのとき
S(a)＝3(a+1/2)^2-(7/4)であるから、これは単調増加であることがわかる。
以上を増減表としてください。

(3)
(2)より、a=(-1+√3)/2の時に、S(a)は最小値5-(3√3)/2をとる。

計算違いがあったらごめんなさい。

お礼

詳しく解説して下さって、ありがとうございました！

回答No.1

ereserve67

x≧0で考えると

|x^2-1|=1-x^2(0≦x≦1),x^2-1(1≦x)

(1)

[1]0≦a≦1のとき

|x^2-1|=1-x^2(a≦x≦1),x^2-1(1≦x≦1+a)

だから

S(a)=∫_a^1{3(1-x^2)+1}dx+∫_1^{a+1}{3(x^2-1)+1}dx

=∫_a^1(4-3x^2)dx+∫_1^{a+1}(3x^2-2)dx

=[4x-x^3]_a^1+[x^3-2x]_1^{a+1}

=4(1-a)-(1-a^3)+(a+1)^3-1-2(a+1-1)

=4-4a-1+a^3+a^3+3a^2+3a-2a

=2a^3+3a^2-3a+3

[2]1≦aのとき

S(a)=∫_a^{a+1}{3(x^2-1)+1}dx

=[x^3-2x]_a^{a+1}=(a+1)^3-a^3-2(a+1-a)

=3a^2+3a-1

(2)

[1]0≦a≦1のとき

S'(a)=6a^2+6a-3
=3(2a^2+2a-1)

S'(a)=0とすると

a=(-1±√3)/2

0≦a≦1よりa=(-1+√3)/2

S'(a)=6(a+(1+√3)/2)(a-(-1+√3)/2)

0≦a<(-1+√3)/2のときS'(a)<0
(-1+√3)/2<a≦1のときS'(a)>0

[2]1≦aのとき

S'(a)=6a+3>0

よってS(a)(a≧0)は

0≦a≦(-1+√3)/2のとき減少
(-1+√3)/2≦aのとき増加

(3)a=(-1+√3)/2のとき最小値

S((-1+√3)/2)

をとる．0≦a≦1のとき

S(a)=2a^3+3a^2-3a+3

=a(2a^2+2a-1)+a^2-2a+3

=a(2a^2+2a-1)+(1/2)(2a^2-4a)+3

=a(2a^2+2a-1)+(1/2)(2a^2+2a-1)-3a+7/2

=(a+1/2)(2a^2+2a-1)-3a+7/2

∴S((-1+√3)/2)=-3((-1+√3)/2)+7/2

=(10-3√3)/2

お礼

詳しく解説して下さって、本当にありがとうございました！