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いびつな図形の重心の求め方を教えてください。重心を求める基本があれば教
いびつな図形の重心の求め方を教えてください。重心を求める基本があれば教えていただけると助かります。大学では微分積分は勉強しました。 問題 直線Y=X+2と放物線Y=x^2で囲まれた領域Dの重心を求めよ。
- tattatatta
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平面図形の重心は(1次モーメント)/(質量)で定義されます。 (質量)は密度が1の場合は(面積)になります 重心の座標をG(xg,yg)とする。 直線と放物線の交点は2つの方程式を解いて求めるとA(-1,1)とB(2,4)となることから 領域の面積S=∫[-1,2] (X+2-X^2)dX 重心の座標は xg=∫[-1,2](X+2-X^2)XdX/S yg={∫[1,4](√Y-(Y-2))YdY+∫[0,1](2√Y)YdY}/S で求まります。 積分は単純な積分ですから積分は自力で出来ると思いますのでやってみて下さい。
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- info22_
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#2,#3です。 A#2の補足質問について >一次モーメントの求め方は基本となる考えがあると思うのですが、 >教えていただけないでしょうか?高校物理でやる力のモーメントと関係がありますか? 同じものです。 >もしわかりやすいサイトなどがあれば教えていただけると助かります。 分かりやすいかは、あなたの基礎力次第です。あなたのレベルに合わせてサイトを作ればあなたがそのサイトを卒業したとき必要なくなってしまい不要なサイトになってしまうでしょう。多くのサイトの作者は自身の蓄積した知識や情報をいつでも再利用できるように整理し自分のレベルに合わせて纏めておくのだと思います(備忘録的意味)。折角纏めたものは他人にも公開して何らかの社会的に役立てたい(役立ちたい)とも思うでしょう。なので他人のレベルに合わせるのではなく作者のレベルになります。分かりやすいかどうかはあなたのレベルなのでレベルが分からない以上紹介は困難です。こちらで適当なサイトを検索したものをあげて置きます。 http://takeno.iee.niit.ac.jp/~shige/math/lecture/misc/gravity1/node2.html http://www.ntrand.com/jp/glossary/ http://www.solitaryroad.com/c375.html 以下は僕の過去の質問の回答です。 http://okwave.jp/qa/q3645474.html
お礼
サイト教えていただきありがとうございます。 勉強します。
- sanori
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No.1の回答者です。 まず、話の順序があるのでNo.2のご回答へのコメントについて。 >>>一次モーメントの求め方は基本となる考えがあると思うのですが、 >>>教えていただけないでしょうか?高校物理でやる力のモーメントと関係がありますか? info22さんがおっしゃる「一次モーメント」というのは、いわば公園にあるシーソーのことであり、No.1で私が述べた「力のモーメント」と同じです。 ある場所に存在するものの質量に、支点からの距離の1乗、あるいは、重心からの距離の1乗をかけます。 I = Σ mi・ri 二次モーメントというのもありまして、「慣性モーメント」(自転の速さの変えにくさ)がそれです。 I = Σ mi・ri^2 >>>まずy軸に平行な線で面積に等分にできるX=aを求め、次にX軸に平行な線で面積に等分にできるY=bを求めればいいということですか? 違います。 それでは「0次モーメント」になってしまいます。 I = Σ mi シーソーのどこに乗っても同じ。 さて・・・ 直線A: y = x+2 曲線B: y = x^2 線分A’: 直線Aで領域Dを横切る部分の線分 Xg: 領域Dの重心のX座標 Yg: 領域Dの重心のY座標 A’の両端の座標は、 x+2 = x^2 より x^2 - x - 2 = 0 (x^2 - x + 1/4) - 1/4 - 2 = 0 (x-1/2)^2 - 9/4 = 0 x-1/2 = ± 3/2 x=-1 or x=2 (x, y) = (-1, -1+2) or (2, 2+2) (x, y) = (-1, 1) or (2, 4) 直線Aの式から曲線Bの式を引いた式 y = x+2 - x^2 で表される領域を、領域Eと呼ぶことにすると、 領域Eは、x=-1 と x=2 の平均(x=1/2) の左右で線対称なので、 領域Eと領域Dの重心のX座標は同じです。 つまり、Xg = 1/2 です。 次にY座標 Yg についてですが、 今、書いていて気づきましたけれども、 先ほどの回答の x=a や y=b で切るよりも、 y=x+2 と平行な直線(傾きが1の直線)で切る方がよさそうです・・・ ・・・が、1時間ほどやってみて、何度も計算ミスを発見してという状態ですので、すみませんが、ここでリタイア。
お礼
回答ありがとうございます。
- info22_
- ベストアンサー率67% (2650/3922)
#2です。 A#2の積分を実行した結果は S=9/2,G(xg,yg)=(1/2,8/5) となります。 積分してチェックしてみてください。
- sanori
- ベストアンサー率48% (5664/11798)
こんにちは。 ある図形を、その重心を通る直線で2つに分割したとき、 その直線がいかなる向きであったとしても、直線の両側でつり合います。 (「力のモーメント」が等しくなります。) 言い換えれば、2つの直線について、どちらの場合にもつり合えば、直線の交点が重心です。 直線の方程式は単純な方がよいので、 x = a というY軸に平行な直線と、 y = b というX軸に平行な直線について、 それぞれ、その直線の両側でつり合うようにa、bを決めれば、 重心の座標は(a、b)です。
補足
お早い回答ありがとうございます。 まずy軸に平行な線で面積に等分にできるX=aを求め、次にX軸に平行な線で面積に等分にできるY=bを求めればいいということですか?
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