ポテンシャルエネルギーから力を求めるのになぜ偏微分

質問

こんにちは、力学を勉強しております。重力やばねの力が保存力である、ということを学ぶ際に、ポテンシャルエネルギーUを習いました。そして、このポテンシャルエネルギーを位置で微分して力を求める、という次の式が登場しました　（~はベクトル表示のための矢印とお考え下さい）。

~F = -(∂U / ∂x) ~i - (∂U / ∂y) ~j - (∂U / ∂z) ~k .... (1)

ここで、なぜ偏微分なのでしょうか。

~F = -(dU / dx) ~i - (dU / dy) ~j - (dU / dz) ~k .... (2)

というように通常の微分では問題になるのでしょうか。

たとえばバネの　ポテンシャルエネルギーはU = (1/2)k x^2なので
これを上式(1)のように微分すれば、F = -kxとなります。重力にしても同様に求まります。
ただ、(2)式を使っても、ばねの力も重力も求まってしまいます。

偏微分を使っているからには、その理由があると思うのですが、私の持っているどの教科書にもその説明がなく、突如として偏微分が示されているだけでして悩んでおります。

どうぞ宜しくお願いします。

回答No.5

hitokotonusi · ベストアンサー

まず、微小変位について仕事がどう書かれるかはわかっていますか？
仕事は一次元運動では力×移動距離ですが、三次元運動では力のベクトルと変位ベクトルの内積になります

ΔW = F・Δr (F, Δrはベクトル)

次に、位置エネルギーの定義ですが、位置エネルギーは仕事の符号を変えたものですから、
この微小変位による位置エネルギーの変化分は

ΔU = - ΔW = - F・Δr = - ( Fx Δx + Fy Δy + Fz Δz ) (＊）

ここまでよろしいでしょうか？

次は純粋に数学の問題で、U(x+Δx,y+Δy,z+Δz)をテーラー展開して1次までとると

U(x+Δx,y+Δy,z+Δz) = U(x,y,z) + (∂U/∂x)Δx+ (∂U/∂y)Δy+ (∂U/∂z)Δz

ここで

ΔU = U(x+Δx,y+Δy,z+Δz) - U(x,y,z)

と定義すれば

ΔU = (∂U/∂x)Δx+ (∂U/∂y)Δy+ (∂U/∂z)Δz

が成り立ちます。つまり、1次までの微小変化であれば、

y,zを止めてxだけ変えたときの変化分、
x,zを止めてyだけ変えたときの変化分、
x,yを止めてzだけ変えたときの変化分、

の合計が全体の変化分に等しいという関係が成り立ちます。
これが全微分ではなく編微分を使う理由です。

この式は

grad U = (∂U/∂x, ∂U/∂y, ∂U/∂z )
Δr = (Δx, Δｙ， Δz)

というベクトルを導入すれば内積を使って

ΔＵ = grad U ・ Δr

と書くことができます。

この関数U(x,y,z)を位置エネルギーだとすると、ΔUは微小変位Δr = (Δx, Δy, Δz)に対する位置エネルギーの変化分となりますから、上の(＊）の式に等しく

ΔＵ = grad U ・ Δr＝ΔU = (∂U/∂x)Δx+ (∂U/∂y)Δy+ (∂U/∂z)Δz
　　　＝- F・Δr = - ( Fx Δx + Fy Δy + Fz Δz )

この二つの式を見比べれば

F = - grad U

成分表記では

Fx = -∂U/∂x
Fy = -∂U/∂y
Fz = -∂U/∂z

となります。

＞というように通常の微分では問題になるのでしょうか。

３次元の調和振動子を考えて見ます。その位置エネルギーは

U(x,y,z) = (1/2)k (x^2 + y^2 + z^2)

これを通常の微分をとるとすると、物体は３次元空間の中をある軌道で運動していますから、xの変化と同時にyもzも変化します。つまり、yとzはxの関数と考えられるので

dU/dx = d/dx [ (1/2)k (x^2 + y(x)^2 + z(x) ^2) ]
= k x + k y(x) dy/dx + k z(x) dz/dx

となり、x方向の力kxを導きません。

回答No.7

ereserve67

ANo.3です．私も含め回答者とのやりとりを拝見していると，質問者様の疑問の根は「数学」にあると思います．

スカラ値やベクトル値の関数とその全微分，偏微分をしっかり理解しないと，難しいと思います．

xyz空間が真空ではなくて，重力場のようにそこにある物体に何かの影響を与える性質を帯びているときその空間には場U(x,y,z)が存在するといいます．この場をポテンシャル（潜在的な何か）と呼ぶのです．

具体的にはポテンシャルU(x,y,z)の座標(x,y,z)に物体の位置(x_1(t),x_2(t),x_3(t))を代入すると，U(x_1(t),x_2(t),x_3(t))は物体のポテンシャルエネルギーを表すのです．物体の速度

v=(dx_1(t)/dt,dx_2(t)/dt,dx_3(t)/dt)

および運動エネルギー

T=(1/2)mv^2

について，

（☆）dT/dt=mv・dv/dt=(mdv/dt)・mv=F・v

が成り立ちます．これはTの定義と運動方程式に数学的操作を施したものです．力学的意味は，Fは物体に働く力で，右辺はFが物体にする仕事率です．運動エネルギーTとポテンシャルエネルギーUの和は力学的エネルギーとして一定値Eです．

T=E-U(x_1(t),x_2(t),x_3(t))

を時間で微分すると，

dT/dt=-dU(x_1(t),x_2(t),x_3(t))/dt

ですが，合成関数の微分法則（これは数学公式）により

dU(x_1(t),x_2(t),x_3(t))/dt=(∂U/∂x)dx_1(t)/dt+(∂U/∂x)dx_2(t)/dt+(∂U/∂x)dx_3(t)/dt=∇U(x_1(t),x_2(t),x_3(t))・v

です．ここにどうしても偏微分がでてきます．

（★）dT/dt=-∇U(x_1(t),x_2(t),x_3(t))・v

（☆）（★）から

F・v=-∇U(x_1(t),x_2(t),x_3(t))・v

すこし強引ですが

F=-∇U(x_1(t),x_2(t),x_3(t))

となることがわかりました．∇は偏微分の記号です．右辺は∇U(x,y,z)を計算した後(x,y,z)→(x_1(t),x_2(t),x_3(t))とすることを意味します．

んー，わかりにくいですかね．

※物理とそれに必要な数学を丁寧に説明した教科書シリーズがあります．もうお持ちかもしれませんが

岩波書店「物理入門コース」のシリーズ

とくに，「物理のための数学」は最初から読んでおいたほうがいいです．

回答No.6

hitokotonusi

数学を前面に出すよりこういう説明のほうがいいかと思ったので補足です。

＞ΔU = - ΔW = - F・Δr = - ( Fx Δx + Fy Δy + Fz Δz ) (＊）

この式を前提に考えます。

Fxをこの式から求めようと思えば、ΔyとΔzが0になるような状態、つまりx方向にだけΔx変位させて位置エネルギーの変化を調べれば

Fx = - ΔU/Δx (ただしyとzは変化させない)

という関係になります。明示はしていませんが、この表式は２次以上を無視して1次の微少量までで書いているものなので、これを厳密に成立させるためにはΔx→0の極限をとる必要があり、

Fx = -lim[Δx->0] ΔU/Δx (ただしyとzは変化させない)

となります。一変数関数であれば微分の定義により

dU/dx = lim[Δx->0] ΔU/Δx

と書くところですが、いまは多変数関数で (ただしyとzは変化させない)という条件も付いた微分なので数学ではこれを

∂U/∂x = lim[Δx->0] ΔU/Δx (ただしyとzは変化させない)

と書く約束になっています。これが偏微分で

Fx = - ∂U/∂x

の関係となります。他の成分も同様。

回答No.4

spring135

#2です。

＞私は重力とばねの力しかまだ知りませんが、例えばもし、
U = x^2 + y^2　で得られるポテンシャルエネルギーがあったとして、
学びましたとおり、
~F = -(∂U / ∂x) ~i - (∂U / ∂y) ~j - (∂U / ∂z) ~k .... (1)
としますと、~F = -2x~i -2y~jとなりますが、

~F = -(dU / dx) ~i - (dU / dy) ~j - (dU / dz) ~k .... (2)
をもし採用してしまうと、
~F = -(2x+2y(dy/dx))~i - (2x(dx/dy)+2y)~j
となってしまいます。

なぜ(1)のケースが採用されるのか、何か物理的な法則や実験事実などに基づく明確な理由があるのか、を理解したいのであります。

~F = -(2x+2y(dy/dx))~i - (2x(dx/dy)+2y)~j

は完全な誤解です。空間を(x,y,z)で表しているのであって、x,y,zは独立変数です。

dy/dx自体ナンセンスです。

力Fとの関係が

F=-gradP=-(∂U / ∂x) ~i - (∂U / ∂y) ~j - (∂U / ∂z) ~k

で与えられるものとして、ポテンシャルPが定義されています。Pはスカラーです。

3次元バネというのは建物を考えてみてください。

地震で上下左右前後（x方向、y方向、z方向)にゆすられるとき建物を3次元バネと質点として考えることができます。

お礼

返答下さりありがとう御座います。

（１）『~F = -(2x+2y(dy/dx))~i - (2x(dx/dy)+2y)~j
は完全な誤解です。空間を(x,y,z)で表しているのであって、x,y,zは独立変数です。
dy/dx自体ナンセンスです。』

についてなのですが、なぜナンセンスであるのかよく説明つけばと思っております。x, y, zは互いに独立した変数であることは分かりますが、そこであえてyをxで微分するという行為をした場合、得られる答えはゼロでしょうか： dy/dx = 0でしょうか.　すると、
~F = -(2x+2y(dy/dx))~i - (2x(dx/dy)+2y)~j =-2x~i -2y~j
となり、偏微分を使ったものと同じになります。x, y, zが独立変数であることは、当然であるとして、
「x, y, zが独立変数だからこそ偏微分を使って~Fを求められる」という理解は間違いでしょうか。

(2)三次元バネの例をお示し頂きありがとう御座いました。なるほど、そのような状態が三次元のバネと考えられるのですね。勉強になります。

回答No.3

ereserve67

ニュートンポテンシャル

U(x,y,z)=-μ/r
r=√(x^2+y^2+z^2)

のように多変数関数の場合が一般的だからです。この場合

-∂U/∂x=-μx/r^3などから

F~=-∇U=-μr~/r^3

これは有名な万有引力です。

お礼

回答ありがとう御座います。

私の今のところの学習では、保存力として、ばねと重力が出てきただけでして、紹介いただきましたニュートンポテンシャル（恥ずかしながら初めて聞きました）、万有引力（F~=-∇U=-μr~/r^3というのは私の知っている式とは何か文字の定義が異なりそうで、勉強してみます）など勉強したいと思います。

他の回答者様への私のご返答にもお書きしたのですが、私の質問のコアな部分は、

「ポテンシャルエネルギーから力を求める際になぜ偏微分をつかって良いのか（使うべきなのか）」（どんな実験的事実や物理的・数学的理屈が、通常の微分ではなく、偏微分を使うことを決めているのか）

ということであります。最初の質問の書き方が良くなかったかと思いますが、いかがでしょうか。xyzは「位置」だから、それぞれ独立に設定でき、互いに関数でないから、かなと考え始めましたが、いかがでしょうか。初歩的な部分でありますが、大変真剣に悩んでおり、どうかご教示頂きたく、よろしくお願い致します。

回答No.2

spring135

>~F = -(dU / dx) ~i - (dU / dy) ~j - (dU / dz) ~k ....

Uをどのような関数と考えていますか。dU / dxはＵをxのみの関数の場合はOKですが

dU / dyで破綻します。U(x,y,z)と考える場合はy,zを一定としてxのみで微分すると

いうのが偏微分の意味で、この場合がそれに当たります。

＞たとえばバネの　ポテンシャルエネルギーはU = (1/2)k x^2なので

これは1次元の場への場合で3次元の場合はU = (1/2)k x^2+(1/2)k y^2+(1/2)k z^2です。

物理の教科書に載っていないとすれば数学の教科書を見てください。

ネットでも偏微分を解説したサイトはいっぱいあります。

お礼

こんにちは、回答下さりありがとう御座います。

私の質問の仕方や内容が的外れでしたら申し訳御座いません。
回答者様の回答内容について、次の点をお手数ですが詳しくご説明頂けないでしょうか。これらを理解することでより知ることができそうでして、どうかお願いします。

まず、私の質問内容ですが、偏微分の方法や概念についてではなく、ポテンシャルから力を算出するのに、なぜ偏微分をするべきなのか、なぜ偏微分をしなくてはならないのか、なぜ偏微分をしても良いのか、ということであります。

私は重力とばねの力しかまだ知りませんが、例えばもし、
U = x^2 + y^2　で得られるポテンシャルエネルギーがあったとして、
学びましたとおり、
~F = -(∂U / ∂x) ~i - (∂U / ∂y) ~j - (∂U / ∂z) ~k .... (1)
としますと、~F = -2x~i -2y~jとなりますが、

~F = -(dU / dx) ~i - (dU / dy) ~j - (dU / dz) ~k .... (2)
をもし採用してしまうと、
~F = -(2x+2y(dy/dx))~i - (2x(dx/dy)+2y)~j
となってしまいます。

なぜ(1)のケースが採用されるのか、何か物理的な法則や実験事実などに基づく明確な理由があるのか、を理解したいのであります。

『dU / dxはＵをxのみの関数の場合はOKですが、dU / dyで破綻します』
ということですが、破綻するということの意味を教えて頂けないでしょうか。実験的事実と異なるということでしょうか。

もう一点、ばねのお話で、
『3次元の場合はU = (1/2)k x^2+(1/2)k y^2+(1/2)k z^2』
と御座いますが、すみません、三次元の場合のばねというはどういう状況なのか、教えて頂けないでしょうか。

ところで、文章のメッセージなので音程がつけられない為、誤解があるやも知れませんが、私は回答者様の言葉尻をとって揚げ足をとったりしているわけではなく、純粋に回答者様の回答内容をもっと理解したいと思っている次第でして、どうかもう一度ご教示頂ければとても幸いです。よろしくお願い致します。

回答No.1

Wis10

大雑把な説明になりますが、ポテンシャルエネルギーは通常x,y,zの関数であるために偏微分を用います。

ばねや重力のように、ポテンシャルエネルギーが一方向（この場合x）のみの関数である場合、確かにdU / dx としても結果は同じになるかもしれません。ですが、このばねや重力のポテンシャルエネルギーは変数が１つ（x）だけで表される特別なもので、ふつうポテンシャルエネルギーはx,y,zの３変数で表されます。そのため、一般式としてポテンシャルエネルギーを表現する際には、(2)式ではなく(1)式のように偏微分の形で記述します。

お礼

回答を下さりありがとう御座います。

私の質問の書き方に問題があったり、内容自体が的を得ていなかったのかも知れませんが、どうかもう一度お付き合い頂けないでしょうか。

私の質問の中心的な部分は、なぜ偏微分を使うべきなのか、なぜ偏微分を使ってよいのか、どんな実験事実、理論的な理屈や数学的・物理的説明が「偏微分を使ってOK」としているのでしょうか？　これが最大の疑問であります。確かに偏微分を使うとシンプルに収まって力が求まるのですが、なぜ偏微分を使っていいのでしょうか。つまり、

~F = -(∂U / ∂x) ~i - (∂U / ∂y) ~j - (∂U / ∂z) ~k .... (1)

に基づいてお話しますと、力のX成分を求める場合、ポテンシャルの関数において、YとZは定数とみなして微分をする、ということになりますが、なぜYとZを定数とみなして良いのでしょうか（なぜ偏微分を使ってよいのか）。

どうかヒントだけでも頂きたくどうぞよろしくお願い致します。