△ABCにおいて、BCを2:1に・・・

質問

△ABCにおいて、BCを2:1に内分する点をD、ADを2:1に内分する点をE、直線BEとACの交点をFとし、→AB=→b、→AC=→cとする。

(1) →AEと→BEを→b、→cで表すとそれぞれ、
→AE=□→b + □→c、 →BE=□→b + □→c となる。

(2)AF/CF=□である。

よろしくお願いします！

(2)の方はメネラウスの定理ではない解き方が分かりましたらよろしくお願いします

回答No.1

suko22 · ベストアンサー

ベクトル記号は省略します。
(1)内分の公式より
ＡＤ＝（ＡＢ+2ＡＣ）/3
ＡＥ：ＡＤ＝2：3より、
ＡＥ＝2/3ＡＤ＝2/3（1/3ＡＢ+2/3ＡＣ）＝2/9ＡＢ+4/9ＡＣ

ＢＥ＝ＡＥ-ＡＢ＝2/9ＡＢ+4/9ＡＣ-ＡＢ＝-7/9ＡＢ+4/9ＡＣ

(2)ＡＦ：ＦＣ＝ｓ：1-ｓとおく。
内分の公式より、
ＢＦ＝ｓＢＣ+（1-ｓ）ＢＡ
　　＝ｓ（ＡＣ-ＡＢ）+（1-ｓ）（-ＡＢ）
　　＝-ＡＢ+ｓＡＣ・・・※1

(1)より、点Ｂ，Ｅ，Ｆは一直線上にあるから、
実数ｋを用いて、
ＢＦ＝ｋＢＥ　と表せる。
ＢＦ＝ｋ（-7/9ＡＢ+4/9ＡＣ）
　　＝-7ｋ/9ＡＢ+4ｋ/9ＡＣ・・・※2

ＡＢ，ＡＣは一次独立であるから、
-1＝-7ｋ/9、ｓ＝4ｋ/9

連立方程式を解くと、
ｋ＝9/7、ｓ＝4/7

よって、ＡＦ：ＦＣ＝4/7：3/7＝4：3
ゆえに、ＡＦ/ＣＦ＝4/3

回答No.2

yyssaa

(1) →AEと→BEを→b、→cで表すとそれぞれ、
→AE=□→b + □→c、 →BE=□→b + □→c となる。
＞△・・・で△・・・の面積を表すものとします。
△DEF=a、△BDE=bとすると△AEF=2a、△ABE=2b、△CDF=(a+b)/2
△ABD=△ABE+△BDE=2b+b=3b、
△ADC=△AEF+△DEF+△CDF=2a+a+(a+b)/2=(7a+b)/2
△ABD/△ADC=2/1=3b/{(7a+b)/2}=6b/(7a+b)、2(7a+b)=6b、
7a+b=3b、7a=2b、a/b=2/7よってEF/BE=2/7
点Eを通るACと平行な直線とABとの交点をGとすると、
△ABF∽△GBE、
よってAG/AB=EF/BF=EF/(BE+EF)=1/(1+BE/EF)=1/(1+7/2)=2/9から
AG=(2/9)AB・・・(ア)
GE/AF=BE/BF=BE/(BE+EF)=1/(1+EF/BE)=1/(1+2/7)=7/9から
GE=(7/9)AF・・・(イ)
ところで△ABF=△ABE+△AEF=2b+2a=2(a+b)、
△BCF=△BDE+△DEF+△CDF=b+a+(a+b)/2=(3/2)(a+b)から
△ABF/△BCF=2(a+b)/{(3/2)(a+b)}=4/3、
よってAF/FC=4/3・・・(ウ)
AF/AC=AF/(AF+FC)=1/(1+FC/AF)=1/(1+3/4)=4/7
(イ)に代入してGE=(7/9)(4/7)AC=(4/9)AC・・・(エ)
(ア)(エ)より→AE=(2/9)→b+(4/9)→c・・・答え
→BE=→AE-→AB=(2/9)→b+(4/9)→c-→b
=(-7/9)→b+(4/9)→c・・・答え
(2)AF/CF=□である。
＞(1)の(ウ)より
AF/CF=4/3・・・答え