コンデンサー関連・・・・

質問

２つほど質問があります。

1つ目：
半径a[m]の2本の無限長の直線状導体があり、それらは平行で、
その間の間隔がd[m]です。またその間の電位差はV[V]とする。
単位長あたりの吸引力を求めよ。ただしa≪dとする。

まず、σ[C/m^2]（単位長あたりの電荷）電界E[V/m]とおき、
1本の無限長直線導体についてガウスの定理を考え、

1/2E=σ/2πε(0)　すなわちE=σ/2πε(0)としました。
→ε(0)は真空の誘電率

次が問題で、電圧V'を　　V'=-∫E dx　
を利用して求めたいと思うのですが、積分範囲が分かりません。
お願いします。

2つ目：
このあと静電容量C、静電エネルギーWを求め、吸引力Fを求めようと思っていますが、

F=d/dx W =1/2 * V^2 * (d/dx*C)

までは、いいのですが、(d/dx*C)の部分にxが無く微分できません。
Δx動かして考えるみたいなのですが、どのように解けばイイのか分かりません。
お願いします。
（2つ目は別の問題でも分からなかったので）

また、考え方が間違っている所があったら訂正をお願いします。

回答No.1

y_13 · ベストアンサー

えーと、まず仮定の訂正を…
　Lone07さんは単位長あたりの電荷σの単位を[C/m^2]とされていましたが、σ[C/m]のがいいと思います。
　それで電界Eを考えるときですが、この時に変数xを考慮しないと2つ目の問題がでてくるわけです。
　だので、2つの直線状導体A(およびB)の中心から距離x[m]の点Pの電界の強さををEa(BのをEb)として考えてみると、次の式となります。

　　Ea=σ/(2πεx)[V/m]
　　Eb=σ/(2πε(d-x))[V/m]

ちなみにEa、Ebの向きはともに導体Aから導体Bへ向かうものとします。
　したがってこれらの電界の強さを合成して、点Pでの電界の強さEは次式で表されます。

　　E=Ea+Eb=σ/(2πε)*{1/x+1/(d-x)}[V/m]

　これで片方の導体表面からもう片方の導体表面までxを動かせばいいんですから、積分範囲はd-aからdとなります。
　したがって1つ目の問題。導体A、B間の電位差Vは次式となります。

　　V=-∫Edx(積分範囲 (d-a) → d)
　　 =（ごりごり計算してください）
　　 =σ/2πε*ln{(d-a)/a)}[V]

　ここまでくれば2つ目の問題の入り口。静電容量Cが求まります。

　　C=σ/V=πε/[ln{(d-a)/a}][F/m]

　それでa<<dらしいので

　　C=πε/{ln(d/a)}[F/m]

となります。

　…いいところまで来ましたが、実はここから先は自信がありません、というか知識がありません。ごめんちょ

　ちなみに誘電率をεで統一しましたのであしからず。

回答No.4

y_13

>>1および>>2もとい>>3です。

　>>3の回答、申し訳ありません。記述していた式は単位長あたりの静電エネルギーを求める式でした。

　本当に適当な答えになっててごめんなさい。>>3のことは忘れてください。

　それでまた性懲りもなく考えてみたんですけどね。
　インテグラル(∫)をつけっぱなしで電位差Vを計算して、それはとりあえず置いといてですよ？
　ここで C=σ/V より

　　W=1/2*C*V^2=1/2*σ*V

って置けませんかね。するとですよ？Fの式は

　　F=d/dx{1/2*σ*V}

ってなりますよね。ということは！ここで d/dx とVについてたインテグラルとが相殺して

　　F=1/2*σ*(Vのインテグラルの中身：電界E)

ってことになって、最終的には

　　F=1/2*σ*E[N/m^2]

になりませんかね？
　もう回答とか言うよりも一緒に考えさせてもらってるような形になっちゃってますが(笑)

お礼

回答ありがとうございます。

人(_ _*)ゴメンナサイ。。
公式(?)の考え方が違っていました。
dW/dxのxはどうやら距離dを表すようです。

dW/dd(∂W/∂d：一般的な書き方)を計算すればイイみたいです。

ご迷惑をおかけしました。
・・・誰か止めてほしかった。。

回答No.3

y_13

たびたびすみません、>>1および>>2です。

　導体間に働く単位長あたりの力Fの導出についてです。
　ふと思ったんですが、>>1で求めた静電容量Cが既に単位長さあたりの静電容量なので、このまま微分しないで

　　F=1/2*C*V^2[N/m]

で求まるんじゃないかと。まあそれだけなんですけどね。

　なんか適当ですみません。

補足

えーっと・・・

1/2*C*V^2　←これだと単位長あたりの静電エネルギーになってしまうかと思うのですが？

どうなんでしょうか？

回答No.2

y_13

>>1です。電位差を求める際の積分範囲間違えてました。

　積分範囲は(d-a)から(a)ですね。足してdにならないといけないんだから。

　どうもすみませんでした。勉強頑張ってね

お礼

回答ありがとうございます。
もちろんσ[C/m]ですｗ　誤字ですｗ

Eをバラバラに考えないといけなかったですね。
積分範囲は{(d-a)→a}にすればイイのですか。
どうもありがとうございます♪

またよろしくおねがいします。