算数の問題

質問

「消しゴム61個、ノート85冊、鉛筆121本をそれぞれ同じ数ずつ分けたら、どれも同じ数だけ余った。何人で分けたか。考えられる人数をすべて挙げよ。」

この問題の答えは、85－61＝24、121－85＝36、121－61＝60の公約数から1を除いたものになるそうです。
なぜこの方法で求められるのですか？

回答No.2

麻野 なぎ（@AsanoNagi） · ベストアンサー

算数の問題だとちょっと難しいですね。

まず、同じ数……たとえば、５個ずつ余ったとしましょう。
このとき、「配ることができた数」は、それぞれ、
消しゴム 61 - 5 個
ノート 85 - 5 冊
鉛筆 121 - 5 本
です。

で、これを見ると、「配ることができた消しゴムとノートの差」は、

(85 - 5) - (61 - 5) = 85 - 61 です。
これは、「同じ数だけ余っている」ので、具体的にいくつ余ったかにかかわらず、
「配ることができた消しゴムとノートの差」は、必ず、85 - 61 になります。
121 - 85 は、同じように、配ることができた鉛筆とノートの差、
121 - 61 は、配ることができた鉛筆と消しゴムの差。

で、これが何人かで配った結果だと言うことは、配った人数は、この、「配ることができたものの差」の約数になっていると言うことがわかります。

まず、配った人数というのは、配ることができた数の約数です。
（配ることができた数＝ひとりあたりの数×人数　なので、人数は、配ることができた数の約数）

消しゴムとノートの差を見ると、

配ることのできた消しゴムの数 ＝ ひとりあたりの消しゴムの数 × 人数　です。
配ることのできたノートの数 ＝ ひとりあたりのノートの数 × 人数　です。
この差は、

ひとりあたりの消しゴムの数 × 人数 － ひとりあたりのノートの数 × 人数
なので、人数でまとめることができます（これは、算数でやっているはず）
まとめると、

（ひとりあたりの消しゴムの数 － ひとりあたりのノートの数） × 人数
なので、人数は、この式全体（配ることのできた消しゴムとノートの差）の約数であることがわかります。

人数は、同じですから、
配ることができた消しゴムとノートの差（85 - 61）
配ることができた鉛筆とノートの差（121 - 85）
配ることができた鉛筆と消しゴムの差（121 - 61）
のすべての約数です（つまり、公約数）

最後に、「１を除いたもの」と言うことですが、これは、
１人で分けたら、全部もらってあまりは（消しゴムも、ノートも、鉛筆も）０で同じ
と考えたら、１もＯＫかもしれません。

お礼

わかりました。ありがとうございました。

回答No.1

asuncion

例えば、消しゴムとノート、だけで考えてみると、何かヒントが見つかるかもしれません。

お礼

わかりました。ありがとうございました。