六方最密構造がブラベー格子に含まれない理由

質問

六方最密構造(hcp)がブラベー格子に含まれない理由をどなたか教えてください。
よろしくお願いします。

回答No.5

htms42

返事がもらえないのでまだ納得できるところまで行っていないのではないかと考えています。
どこがしっくりいかないのか書いてもらうといいのですが。

回答を書いていて考えました。
結晶構造、ブラベー格子についての解説には抜けているものがあるのではないかということです。初めて読む人が分かるような解説にはなっていないのです。

考察の対象になっている結晶構造は「含まれている原子は全て、並進対称操作で表現出来るものになっている」という前提があります。ある一つの格子点から結晶構造中の他の格子点に行くための操作は３つの基本単位ベクトルａ，ｂ，ｃの整数係数の組み合わせで表されます。（「基本単位ベクトル」という言葉があるのかということについては「？」です。説明のために私が使っている言葉だと考えて下さい。）
このような基本単位ベクトルが存在するような結晶構造が「あらかじめ選ばれている」というところの記述が抜けているのです。

このような基本単位ベクトルの作る「単位格子」を「基本単位格子」という（ｗｉｋｉでの表現）ようです。
「基本単位格子に所属する原子の数は１」です。

ブラベー格子の図に出てくる「体心立方」というような単位格子は基本単位格子ではありません。立方体１つ当たり２個の原子が含まれています。従って立方体の３つの辺を表すベクトルは基本単位ベクトルではありません。立方体の２つの辺を表すベクトルと体心にある原子に向かうベクトルの３つをセットにすれば基本単位ベクトルになっります。全ての原子の位置がこの３つのベクトルの整数係数の組み合わせで表現できます。
ブラベー格子に出てくる７つの結晶形というのは「並進対称性が成り立っていることが確認されている結晶」についてのものです。別の対称性を基準にしてまとめ直しているのです。ｗｉｋｉでは回転操作によって分類すると書かれています。その場合、基本単位格子とは異なった平行六面体が出てくるのです。これも混乱の原因になっています。図を見ると並進操作で出てくる平行六面体についての分類であるかのように受け取ってしまいますね。

具体的にある結晶構造が与えられた時に、基本単位ベクトル、基本単位格子はどのようにして決めればいいのでしょうか。例えば、最密構造という結晶構造が与えられた時です。
全ての原子が並進対称性を満たすとします。
ある基準になる原子を選びます。Ａｏとします。その原子の隣にある３つの原子を選びます。３つとも同一平面上にあってはいけません。どの２つも同一直線上にあってはいけません。距離の近い方から順番に３つです。Ａｏからこの３つの原子に向かうベクトルが基本単位ベクトルａ，ｂ，ｃになります。他のすべての原子の位置はこの３つのベクトルの整数係数の組み合わせで表されているはずです。もしうまく表すことが出来ない原子があれば初めの「全ての原子が並進対称性を満たす」とした前提が成り立っていないのです。「並進対称性を満たすような部分構造」を探さなければいけません。ブラベー格子を考えるのはこの後のことです。
この作業が必要であるということがどこの説明にもないから行き詰るのです。

立方最密構造にも六方最密構造にも４つの原子の作る正四面体が存在します。最近接の原子の作る構造です。
この正四面体の３つの辺を基本単位ベクトルに選びます。ａ，ｂ，ｃとします。
立方最密構造では他のすべての点がこのａ、ｂ、ｃの整数係数の組み合わせで表されます。ところが六方最密構造ではうまくいかないのです。このａ，ｂ，ｃを基本単位ベクトルにすることはできないということです。と同時に正四面体を基本単位格子とするという立場も成り立たなくなっていることになります。
（一種類の原子でできている結晶構造でありながら役割の異なる（等価でない）原子の組があるというのも分かりにくいところですね。）

六方最密構造での繰り返しの単位は底面が正三角形の三角柱です。
底面は原子を正三角形に敷き詰めた構造になっています。この面をＡとします。
Ａと同じものを少しずらしてＡの上に載せたものをＢとします。Ａの原子の作る三角形のくぼみのところにＢの原子が来るように置いています。Ｂの上にはＡと同じものがきます。ＡＢＡＢ・・・となっています。
面に垂直な繰り返しの周期はＡ－Ａの間隔です。
Ｂを除いてＡだけを考える場合でしたらＡの中の３つの原子の作る正三角形が繰り返しの基本単位になります。しかしＢにある原子まで考えての繰り返しの単位であれば底面Ａの原子の数は変わってきます。６個の原子の作る正三角形が繰り返しの基本単位になります。基本単位ベクトルの長さが２倍になったことになります。この三角形の中央には穴が開いています。Ａの原子もＢの原子も来ない場所があるのです。この穴の位置の繰り返しが繰り返しの単位になります。基本単位ベクトルの長さが２倍になっていますからＡ面の中にも副格子を作る原子が存在していることになります。
ただ、「六方晶」という対称性はＡだけしか考えていない時でもＡ，Ｂ合わせて考えている時でも変わりません。