微分積分と極限の問題についての質問
- 微分積分と極限に関する問題を解く際、一部理解ができていない箇所があります。具体的には、問題の極限について理解が不十分で、解法に誤りがある可能性があります。
- 質問者は問題における極限の解法について、調和級数の性質を考慮しているものの、解法がうまくいっていないようです。適切な解法や解答へのアドバイスが求められています。
- この質問は、微分積分と極限に関する問題の一部であり、質問者は特に(4)の極限について疑問を抱いています。問題の内容や解法、特に(1)と(2)の手順に誤りがある可能性があります。
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微分積分、および極限の問題です。
問題が書いてある画像を添付しています。 微積の問題なのですが、(4)が分かりません。。 今までの解いた流れとしては、下記のようになってます。 (1)fn(x)については帰納法で、 fn(x) = e^(-x)+e^(-2x)+e^(-3x)+...+e^(-nx) となったので、Fn(x)=Σ(k=1,n) 1/k となりました。 (2)∫(1,n) e^(-xy)dy = (-1/n)e^(-nx) + e^(-x) となることから、両辺をxで微分して(-1)倍すると、 -∫(1,n) xe^(-xy)dy = e^(-x) - e^(-nx) これをgn(x)に代入してから問題の積分を解くと、答えは Gn(x) = 1-1/n^2 となりました。 (3)Fn - Gn = (1 + 1/2 + 1/3 + ... + 1/n) - (1 - 1/n^2) なので、明らかに正としました。 (4)極限ですが、これは調和級数の最初の1がなくて最後に+1/n^2がついているものなので 無限大に発散すると思ったのですが、それだと問題と合わないため解けないでいます。 もしかすると(1),(2)のどこかで違ったのでしょうか・・？ どなたか、ご教授お願いいたします。。
- moonstarv
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(2)の計算が間違っている・・・！ Gn = logn (logの底は自然対数)となる。 ・・・・なので(3)以降も考え直す必要がある。 (4)はFn－Gn = γ (n→∞)(γ:オイラー常数)に収束する。
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補足
ありがとうございます。 すみませんが、(2)がなぜlognになるのか分かりません…。 どのように計算されたのでしょうか？ それと、lognとなると(3)も(4)もちょっと自分には分からないので、 オイラー常数をちょっとぐぐってきます。