数C 確率の乗法定理について質問があります

質問

以下、教科書からの抜粋です
乗法定理とは
「２つの事象A,Bがともに起こる確率P(A∩B)は
　P(A∩B)=P(A)PA(B)　　」

とあり、その例題として次の問題が出されました。

例題：赤玉3個と白玉5個が入っている袋から、玉を1個取り出し
それをもとに戻さないで、続いてもう1個を取り出すとき
2個とも赤である確率を求めよ。

そして回答は次のようなものでした。
回答：最初に取り出した玉が赤であるという事象をA、2回目に
取り出した玉が赤であるという事象をBとすると

P(A) = 3/8

最初に取り出した玉が赤であるとき、2回目は赤玉2個と白玉5個の
中から1個取り出すことになるから

PA(B) = 2/7

2個とも赤であるという事象はA∩Bで表されるから、求める確立は
乗法定理により

P(A∩B) = P(A)PA(B) = 3/8 × 2/7 = 3/28

以上、教科書からの抜粋でした。

この回答に理解できないところがあり、以下にそれを書きます。

(1)そもそも条件付き確立の定義は
「標本空間Uにおける2つの事象A,Bについて、事象Aが起こった時に、事象Bが
起こる確率を、事象Aが起こったときの事象Bの起こる条件付き確率という」

というものです。この例題の場合、事象Aが起こったときには事象Bは起こらないんじゃないでしょうか？
なぜなら事象Aが起こったあとに、もう一度試行をしなければ事象Bは起こりえないからです。
故にこの例題ではPA(B)を定義できないと思うのです。

(2)乗法定理は PA(B) = P(A∩B)/P(A) を変形して得られたものですが、この変形前の式は
PA(B) = n(A∩B)/n(A) の右辺の分母・分子にn(U)の逆数をかけて得たものです。
つまり事象A,Bともに標本空間Uの部分集合であるのです。

この例題の標本空間Uは赤玉3個と白玉5個が入った袋です。
Aはこの8個入りの袋を標本空間としていますが
Bの場合は、一回目に赤玉を一つ抜いてしまっていますから、Aとは別の標本空間に属する
部分集合となってしまっています。

そのためこの例題の事象A,BをPA(B) = P(A∩B)/P(A)　に当てはめることができないと思うのです。

(3)A,Bは同一の標本空間にないのでA∩Bをそもそも定義できないと思うのです。
そのため2個とも赤であるという事象はA∩Bで表されないと思うのです。

この3点が理解できない所です。
長文を読んでくださってありがとうございました。
私の考えのどこがおかしいのか、教えてください。
回答よろしくお願いします。

回答No.3

MagicianKuma · ベストアンサー

まず標本空間への理解が足りません。標本空間とはある試行において起きうるすべての結果の集合です。
この問題の場合の1回の試行とは、玉を1個取り出し、元に戻さず、続けてもう1個取り出すことです。　標本点はどう表しても良いけど、各玉に番号(1～8)が振ってあるものとして考えます。(1回目の玉番号-2回目の玉番号)で表します。
各玉には色という属性があります。玉1～3は赤、4～8は白とします。
標本空間Ω={(1-2),(1-3),(1-4),・・・(1-8),(2-1),(2-3),・・・,(8-1),(8-2),・・・,(8-7)}　です。元の数は8*7=56
事象とは質問者さんのご理解通り標本空間の部分集合の事です。
事象A:最初に取り出した玉が赤　上記番号で置き換えると最初に取り出した玉番号が1～3です。(1-*),(2-*),(3-*)　すべてあげてみると
　{(1-2),(1-3),(1-4),(1-5),(1-6),(1-7),(1-8),(2-1),(2-3),(2-4),(2-5),(2-6),(2-7),(2-8),(3-1),(3-2),(3-4),(3-5),(3-6),(3-7),(3-8)} 元の数21　P(A)=21/56=3/8
事象B:2回目に取り出した玉が赤　　(*-1),(*-2),(*-3) すべてあげてみると
　{(1-2),(1-3),(2-1),(2-3),(3-1),(3-2),(4-1),(4-2),(4-3),(5-1),(5-2),(5-3),(6-1),(6-2),(6-3),(7-1),(7-2),(7-3),(8-1),(8-2),(8-3)} 元の数21　P(B)=21/56=3/8
事象 A∩B:事象Aと事象Bが同時に起こる。（同時にという言葉は時間的にという意味ではありません。）
　　記号通り、AとBの共通集合です。{(1-2),(1-3),(2-1),(2-3),(3-1),(3-2)} 元の数6 P(A∩B)=6/56=3/28

これを条件付き確率の式から解いてみます。PA(B)はわかりにくいのでP(B|A)と書きます
P(B|A)=P(A∩B)/P(A) から　P(A∩B)＝P(B|A)・P(A)

>この例題の場合、事象Aが起こったときには事象Bは起こらないんじゃないでしょうか？ ここで質問者さんが迷っています。
事象って何でしょうか？　標本空間Ωの部分集合です。この場合の標本点は2個選んだ結果です。1個選んだ結果が標本点ではありません。
>事象Aが起こったときの事象Bの起こる条件付き確率という。　表現がまずい。
「起こったとき」と書くといかにも時間的な同時を考えてしまいます。が、正確には「事象Aが起こるという条件の下で事象Bが起こる確率」です。
今回の場合、玉を取り出す操作は2回に分かれていますが、1回の試行は2個取り出した事です。

お礼

回答ありがとうございます。
No2の回答者様のご指摘と回答者様のご指摘でようやく理解できました。
私の標本空間や試行という言葉への理解が足りないのが原因でした。

親切に教えてくださって本当にありがとうございました。

回答No.2

kabaokaba

> ってのは「発言の引用を表す」という暗黙の了解があるんだがなー・・・

本題

で，質問者は回答（正しくはこの場合「解答」）に理解できないところがある
というけど・・・答えが 3/28 になることはOKなのかな？
もちろん，答えは 3/28 でOKなんだけど

こういう場合は，ひとまず別ルートを探してみる．
解説に納得がいかないなら，別の方針を考えてみる．

幸いにして，確率の基本だから，究極的には数えれば何とかなる

まず，二回玉を引いて，一回目の玉は戻さないのだから
引く玉の組合せは，8*7 通り
そして，
一回目が赤，二回目も赤なんだから
この組合せは (1*2)*3 通り
＃(赤1,赤2)(赤1,赤3)(赤2,赤1)(赤2,赤3)(赤3,赤1)(赤3,赤2)ってこと

ということで，求める確率は (1*2)*3/(8*7) = 3/28

これは納得できる？

で・・・(1)(2)(3)とある理解できない点ってのは
ぶっちゃけた話，標本空間の理解が間違ってるということ

＞この例題の標本空間Uは赤玉3個と白玉5個が入った袋です。

これが間違いの根本．これは標本空間じゃない．

この問題は
赤3，白5がある袋から
二回玉をとる．ただし一回目の玉は袋に戻さない
という試行なので
標本空間ってのは
上の別解で書いた「7*8通りの組合せの集合」のこと
決して，現実世界にある「赤3，白5の玉の入った袋」ではないということ

例えば，細かいことは抜きにして，単純に
コインが1枚ある．表がでる確率は？
という場合
標本空間は「コイン一枚の集合」なんてものじゃなくって
{表が出る,裏が出る}
という集合．そして確率ってのは
この標本空間の部分集合に対して，値を与えるものです

こんなんでどう？
＃ちなみに，私はNo.1のいってることがまるで理解できない

お礼

回答ありがとうございます。
＞決して，現実世界にある「赤3，白5の玉の入った袋」ではないということ

書き方が悪かったです。すいません。私が言いたかったのは
｛赤、赤、赤、白、白、白、白、白｝のそれぞれを根元事象とする標本空間と言いたかったのです。

ところで、「7*8通りの組合せの集合」を標本空間とするなら
P(A)の分母は56になるのではないですか？
というのも、この教科書には確率の定義として次のことも書いてあるのです。
「各根元事象が同様に確からしい試行において、その標本空間をUとする。この
試行におけるUの要素の個数をn(U)とし、事象Aの要素の個数をn(A)で表すとき、事象A
の起こる確率P(A)は、次の式で定められる　P(A) = n(A)/n(U)　　」

例題ではP(A)=3/8 となっています。つまり事象Aの標本空間を
｛赤、赤、赤、白、白、白、白、白｝の集合としているのです。

これはどういうことなのでしょうか？

回答No.1

yyssaa

（１）について
＞この問題は条件付確率の問題ではなく、独立事象が2回続く確率の問題です。
答えはP(A)*P(B)です。
もし条件付確率の問題なら、事象Aが起こったという前提で事象Bが起こる確率
になります。答えはPA(B)です。あくまで事象Bの起こる確率の問題になります。

お礼

回答ありがとうございます。
＞答えはP(A)*P(B)です

ということはこの例題の答え、P(A)PA(B)が間違っているということですよね。
また、答えがP(A)*P(B)である場合
この例題をどうやって解くのでしょうか？