数学「軌跡」の問題が分りません。教えてください。

質問

(1)点P（X、Y）が円x^2+y^2=9の円周上を動く。
（１）点A（６，６）と点Pとを結ぶ線分APの中点Qの座標を（x、y）とする。x、yをX、Yの式で表してください。（途中式もお願いします。）
（２）点Qの軌跡を求めてください。（途中式もお願いします。）

(2)mを定数とする。放物線y=x^2－(m+1)x+m^2－mの頂点の座標をmを用いて表してください。また、mがm≧0であるすべての実数値をとって変化するときの頂点の軌跡を求めてください。（途中式もお願いします。）

ちなみに答えは、(1)（１）x=(X+6)/2、y=(Y+6)/2 （２）中心（3、3）、半径3/2の円
(2)（(m+1)/2、3m^2/4－3m/2－1/4） 放物線y=3x^2－6x+2 （x≧1/2）
です。

回答No.1

noname#214474 · ベストアンサー

問１(1)について
任意の線分の両端の座標を（a,b),(m,n)　、線分の中点を（ｘ、ｙ）とおくと
x=（a+m)/2
y=(b+n)/2
このように表すことができます。
この問題では線分の両端が点Ｐ、Ａですので、同様に考えることにより。
x=(X+6)/2
y=(Y+6)/2
と解くことができます。

（２）について
（１）より、
Ｘ＝２ｘ-６　-(1)
Ｙ＝２ｙ-６　-(2)
と変形ができます。
ここで、点Ｑ（Ｘ、Ｙ）上の点であるので円の方程式　x^2+y^2=9　に代入し
Ｘ＾2+Ｙ＾2＝９
さらに(1)(2)を代入します。
後は変形していくことにより
（ｘ-３）＾２+（ｙ-３）＾２＝９/４
ここから答えが求まります。

軌跡を求める問題は、つまりは既にある条件から新たに図形の方程式を求めるということです。
わからなくなったら、「まだ利用していない条件はないか」と考えるようにしましょう。

問２
平方完成を行い、変形すると
ｙ＝｛ｘ-(m+1)/2｝＾２-（3m^2/4－3m/2－1/4）
という式が求まります。
ここから頂点が求まります。

頂点の軌跡を求めるので、頂点の座標を（ｘ、ｙ）とおきます。
前の問題より
ｘ＝(m+1)/2
ｙ＝3m^2/4－3m/2－1/4　-(3)
ｍ≧０なので
ｘ＝(m+1)/2≧（０+１）/2
つまり

※ｘ≧1/2

また
ｘ＝(m+1)/2
より
ｍ＝２ｘ-1
これを(3)に代入して変形を行い
y=3x^2－6x+2
これが求まります

すいません。できるだけ簡潔にまとめようとしたのですが、長くなってしまいました。

お礼

とても解りやすい解説で助かりました。
ありがとうございます。