関数の極限の問題を教えてください。

質問

問題　次の無限級数の収束,発散を調べよ。また，収束するものについては和を求めよ。

（１）
2 -3/2+3/2-4/3+4/3・・・・・・・・・・
　　答え　発散する
(2)
1/2-1/3+1/3-1/4+1/4・・・・・・・・
　　答え　収束し、その和は1/2

この問題の解答の途中計算でn=2m,n=2m-1
Sn=S2m= 2 -3/2+3/2-4/3+4/3・・・・・・・・・・
Sn=S2m-1=2 という計算があるのですが、どういうことをしてるのかぜんぜんわからないです。
計算の解説やどういう操作をしているか教えてください。お願いします。

回答No.1

151A48 · ベストアンサー

引いた数と同じ数を足し返しているので，奇数番目までの和は初項に同じ。

（１）では2m項目までの和は2-{(m+2)/(m+1)}　で，これはm→∞のとき
(m+2)/(m+1) = (1+2/m)/(1+1/m)→１　なので，偶数個の和は１に収束。奇数個の和２と異なるので
級数は発散。

（２）では2m項までの和は(1/2)-1/(m+2)で，これはm→∞のとき1/2に収束し，奇数個の場合に等しいので，級数は収束。

お礼

ありがとうございました！

回答No.2

info22_

(1)
偶数項の和S2mは
　途中の項が±打ち消して、消え、初項と最後の項が残り
　　S2m=2-((m+2)/(m+1))
　となります。m→∞のとき　
　　S2m=2-(1+(1/(m+1)))→2-1=1
　となります。
奇数項の和S2m-1は
　途中の項が±打ち消して、消え、初項だけが残り
　　S2m-1=2
　となります。m→∞のときも　
　　S2m-1=2
　となります。
偶数項の和と奇数項の和の収束値が異なる（一致しない）ので、
収束値は存在しないことになります。

(2)
偶数項の和S2mは
　途中の項が±打ち消して、消え、初項と最後の項が残り
　　S2m=(1/2)-(1/(m+2))
　となります。m→∞のとき　
　　S2m→(1/2)-0=1/2
　となります。
奇数項の和S2m-1は
　途中の項が±打ち消して、消え、初項だけが残り
　　S2m-1=1/2
　となります。m→∞のときも　
　　S2m-1=1/2
　となります。
偶数項の和と奇数項の和の収束値が1/2となって一致するので、
収束値は存在し、1/2となります。

（まとめ）
(1)は最終項（末項）が1に収束しセロにならないため偶数項和と奇数項和の収束値が一致せず、全体のSnが収束しない場合である。
他方(2)は最終項（末項）が0に収束するため、偶数項和と奇数項和の収束値が一致して、全体のSnが収束する場合である。
と言えます。